《线性变换的几何实例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性变换的几何实例（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性变换的几何实例,由解析几何的坐标变换我们知道，在由直角坐标系 XOY 所确定的平面上，当一点 A(x1, x2) 变为另一点 B(y1, y2) 时，一定存在一个关系式使得 如果令 OA、OB 分别表示两个向量： = (x1, x2)T， = (y1, y2)T，则一定存在矩阵 A = (aij)，i, j = 1, 2，使得 = A。,选取 2 维和 3 维几何空间中的具体例子进行分析，可以看到： (1) 当平面上的一点 P(1, 2) 变为另一点Q(4.2, 11) 时，存在关系式使得 或者 或者,令 = (1, 2)T， = (4.2, 11)T，则上式意味着存在矩阵 ，或者 ，或者
2、 使得 = A。如果将点 P(1, 2) 和 Q(4.2, 11) 分别看做是平面 1 和平面 2 上的点，将矩阵 A 的作用看做是平面 1 到平面 2 的一个映射法则，则 = A 可以看做是平面 1 到平面 2 的一个映射表达式，如图1(a) 所示；,但如果将平面 1 和平面 2 重叠，则可将点 P(1, 2) 和 Q(4.2, 11) 看做是同一个平面 上的两个点，矩阵 A 的作用又可看做是平面 到自身的一个映射法则，此时 = A 可以看做是平面 到自身的一个映射表达式，如图 1(b) 所示。,(a) (b) 图 1 二维平面上的映射,(2) 当空间 V 中的一点 P(1, 2, 3) 变
3、为另一点 Q(4, 3, 0) 时，存在关系式使得 或者 或者,令 = (1, 2, 3)T， = (4, 3, 0)T，则上式意味着存在矩阵 ，或者 ， 或者 使得 = A。,如果将点 P(1, 2, 3) 和 Q(4, 3, 0) 分别看做是两个空间 V1 和空间 V2 上的点，将矩阵 A 的作用看做是空间 V1 到空间 V2 的一个映射法则，则 = A 可以看做是空间 V1 到空间 V2 的一个映射表达式，如图 2(a) 所示；但如果将空间 V1 和空间 V2 重叠，则可将点 P(1, 2, 3) 和 Q(4, 3, 0) 看做是同一个空间 V 中的两个点，矩阵 A 的作用又可看做是空间
4、 V 到自身的一个映射法则，此时 = A 可以看做是空间 V 到自身的一个映射表达式，如图 2(b) 所示。,(a) 图 2 三维空间上的映射,(b) 图 2 三维空间上的映射,(3) 进一步，当平面上的一个单位正方形 OABC 变为另一个正方形 OABC 时， (a) 图 3 正方形的变换,令：1 = OA = (0, 1)T，2 = OB = (1, 1)T， 3 = OC = (1, 0)T，1 = OA = ( , 1/2)T， 2 = OB = ( , )T， 3 = OC = (1/2, )T， 则一定存在矩阵 使得 i = Ai，i = 1, 2, 3。,如果将 OABC 和 O
5、ABC 分别看做是两个平面 1 和平面 2 上的正方形，将矩阵 A 的作用看做是平面 1 到平面 2 的一个映射法则，则 i = Ai (i = 1, 2, 3) 可以看做是平面 1 到平面 2 的一个映射表达式，如图 4(a) 所示；但如果将平面 1 和平面 2 重叠，则可将 OABC 和OABC 看做是同一个平面 上的两个正方形，矩阵 A 的作用又可看做是平面 到自身的一个映射法则，此时 i = Ai (i = 1, 2, 3) 可以看做是平面 到自身的一个映射表达式，如图 4(b) 所示。,(b) 图 3 正方形的变换,因为 2 维或 3 维几何空间均为线性空间，所以，如果站在线性空间的
6、角度来考察上述具体实例，则它们描述的都是从一个线性空间到另一个线性空间(或自身)的映射。那么这样的映射具有什么样的特性，以及应该采用什么工具来研究它们，这就是线性映射与线性变换的具体内容。,例题 设有矩阵 ARnn，其中 定义 Rn 到 Rn 的映射 TA，使得 xRn，TA(x) = AxRn 则 TA 是线性 Rn 上的线性变换。,注记 1 由例题不难看出，其中矩阵 A 的作用相当于函数的对应法则。就像通过不同的对应法则可以定义不同的实函数一样，选取不同的矩阵 A，可以定义不同的线性变换 TA，即使其定义域与值域相同也是如此。例如，图 4 和图 5 描述的则分别是 R2 到 R2 以及 R3 到 R3 的各种不同的线性变换。,图 4 线性空间 R2 到 R2 的几个线性变换,图 5 线性空间 R3 到 R3 的线性变换,谢谢,
