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1、第十二章 概率,第五节 离散型随机变量及其分布,一随机变量的概念,例1,袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数 我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为,我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为1， 2，3 因此， X 是一个变量 但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X的取值 带有随机性， 所以，我们称 X 为随机变量 X 的取值情况可由下表给出：,由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应 着变量 X 的一个确定的取值，因此变量X是样本空 间S上的函数：,我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情
2、况来刻划随机事件例如,表示至少取出2个黑球这一事件，等等,表示取出2个黑球这一事件；,随机变量的定义,设E是一个随机试验，S是其样本空间我们称样本空间上的函数,为一个随机变量，如果对于任意的实数 x ，集合,都是随机事件,说明,(1)随机变量常用大写的英文字母,或希腊字母,来表示,(2)对于随机变量,我们常常关心的是它的取值.,(3)我们设立随机变量,是要用随机变量的取值来 描述随机事件.,例2,掷一颗骰子，令： X：出现的点数 则 X 就是一个随机变量它的取值为 1，2，3，4，5，6,表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；,表示掷出的点数为偶数这一随机事件,X取偶数,例3,一批产品有 5
3、0 件，其中有 8 件次品，42 件正 品现从中取出 6 件，令： X：取出 6 件产品中的次品数 则 X 就是一个随机变量它的取值为 0，1，2，6,表示取出的产品全是正品这一随机事件；,表示取出的产品至少有一件这一随机事件,例 4,上午 8:009:00 在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数 则 Y 就是一个随机变量它的取值为 0，1，,表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；,表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件 注意 :Y 的取值是可列无穷个！,例5,观察某生物的寿命（单位：小时），令： Z：该生物的寿命 则 Y 就是一个随机变量它的取值为所有非
4、负实 数,表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件,表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件,注意: Z 的取值是不可列无穷个！,例 6,掷一枚硬币，令：,则X是一个随机变量,说明,在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量,例7,掷一枚骰子，在例2中，我们定义了随机变量X表示 出现的点数我们还可以定义其它的随机变量，例 如我们可以定义：,等等,离散型随机变量的分布律,设离散型随机变量 X 的所有可能取值为,并设,则称上式或表,为离散型随机变量 X 的分布律,说明,离散型随机变量可完全由其分布律来刻划 即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这 些值的概率唯一确定,离散型随机变量分
5、布律的性质:,(1) 对任意的自然数n, 有,例8,从110这10个数字中随机取出5个数字，令： X：取出的5个数字中的最大值 试求 X 的分布律 解： X 的取值为5，6，7，8，9，10 并且,具体写出，即可得 X 的分布律：,例9,将 1 枚硬币掷 3 次，令： X：出现的正面次数与反面次数之差 试求 X 的分布律 解： X 的取值为-3，-1，1，3 并且,例10,设离散型随机变量 X 的分布律为,则,例11,设随机变量 X 的分布律为,解：由随机变量的性质，得,该级数为等比级数，故有,所以,试求常数c,解： 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：,或写成 PX
6、= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4,以 p = 1/2 代入得：,二、常用离散型随机变量分布,1) 二点分布(或0-1分布),如果随机变量 X 的分布律为,或,则称随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布(0-1分布),记作 (其中 为参数),2）二项分布,如果随机变量 X 的分布律为,则称随机变量X服从参数 的二项分布.,记作,(其中n为自然数, 为参数),显然，当 n=1 时X服从两点分布,这说明二点分布是二项分布的一个特例.,二项分布的概率背景,进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中,令 X：在这次Bernoulli试验中事件A发生
7、的 次数,由于,以及 n 为自然数，可知,又由二项式定理，可知,所以,是分布律,则答5道题相当于做5重贝努力利试验,答对一道题,则,设 X为学生靠猜测能答对的题数,则,所以,P至少能答对4道题,则由题意,解：对目标进行300次射击相当于做300重贝努利试验,设X为300次独立射击中命中目标的次数.,由于 不是整数,因此，最可能射击的命中次数为,其相应的概率为,3）Poisson 分布,如果随机变量 X 的分布律为,则称随机变量X服从参数为的Poisson 分布,(其中 为常数),分布律的验证, 由于,可知对任意的自然数 k，有, 又由幂级数的展开式，可知,所以,是分布律,Poisson分布的应
8、用,Poisson分布是概率论中重要的分布之一 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的,例 9,设随机变量 X 服从参数为的Poisson分布，且 已知,解： 随机变量 X 的分布律为,由已知,试求,得,由此得方程,得解,所以，,(另一个解 不合题意,舍去),解：设 B= 此人在一年中得3次感冒 ,则由Bayes公式，得,该药疗效显著,该药疗效一般,该药无效,P
9、oisson定理,证明：,设在贝努利试验中,以 代表事件A在试验中发生的 概率,它与试验总次数n有关.如果,则,令,则,对于固定的 k，有,所以，,Poisson定理的应用,由 Poisson 定理可知,若随机变量,则当n比较大, p比较小时, 令,则有,例17,设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次， 求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计 算）,解：设 B= 600次射击至少命中3次目标 进行600次射击可看作是一600重贝努利试验.,X 为 600次射击中命中目标的次数.,则,用泊松分布近似计算,取,所以，,解：设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台数为
10、 X ，则 X b(300，0.01），需要确定最小的 N 的取值，使得：,为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？,例18,查表可知，满足上式的最小的 N 是 8 , 因此至少需配备 8 个工人。,设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法： 其一，由 4人维护，每人负责 20 台 其二，由 3 人,共同维护 80 台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.,例 19,解：按第一种方法. 以X记“第1人负责的20台 中同一时刻发生故障的台数”，则Xb (20，0.01）.,以Ai表示事件 “第i人负责的台中发生故障不能及 时维修”，则 80 台中发生故障而不能及时维修的概 率为：,按第二种方法.以Y记80台中同一时刻发生故障 的台数，则 Yb(80，0.01）.故 80 台中发生故障而 不能及时维修的概率为：,第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维 修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以 有效地使用人力、物力资源。,
