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1、第七节 变化率问题举例,高等数学,称为函数 处的变化率. 变化率反映了函数 y随着自变量x在 处的变化而变化的快慢程度.,变化率问题举例,对于函数 ，,是表示自变量x在以 与 为端点的区间中每 改变一个单位时，函数y的平均变化量.,所以把 称为函数 在该区间中的平均变化 率；把平均变化率当 时的极限 或,例1 （电流模型）设在0，t这段时间内通过导线横截面的电荷为 ，求时刻 的电流.,一、变化率在工程技术上的几种常见类型,解：如果是恒定电流, 在 时间段内通过导线横截 面的电荷为 ，那么它的电流为,电流,如果电流是非恒定电流，就不能直接用上面的 公式求 时刻的电流，此时,称为在 这段时间内的平
2、均电流.当 很小时,平均电流 的极限(如果极限存在),就称为 时刻的电流 ，即,例2 （细杆的线密度模型）设一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上，在0，x上的质量m是x的函数m=m(x)，求杆上 处的线密度.,解,如果细杆质量分布是均匀的, 长度为 的一段 的质量为 ，那么它的线密度为,如果细杆是非均匀的，就不能直接用上面的公式求 处的线密度.,设细杆0，的质量m=m(x),在0， 的质量,于是在 这段长度内，细杆的质量为,平均线密度为,所以,该杆的线密度为,当时间从t变到 时，浓度的改变量为,例3 （化学反应速度模型）在化学反应中某种物质的浓度N和时间t的关系为N=N(t)，求在t时刻该物质的
3、瞬时反应速度.,令 ，则该物质在t时刻时瞬时反应速度为,解,平均浓度为,二、变化率在经济分析中的应用,1边际成本 在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的成本.,（一）边际分析,设某产品产量为x单位时所需的总成本为C=C(x)，称C(x)为总成本函数，简称成本函数.,当产量由x变为 时，,总成本函数的平均变化率为,当总成本函数C（x）可导时，其变化率,表示该产品量为x时的边际成本，即边际成本，即边际成本为成本函数关于产量的导数.,2边际收入,设某产品的销售量为q时的收入函数为,在经济学中，边际收入定义为多销售一个单位 产品所增加的销售收入.,就是该产品的边际收入.,当该函数可导时，
4、则收入函数关于销售量q的导数,3边际利润,设某产品的销售量为q时的利润函数为 ，当 可导时，称 为销售量为q时边际利润，它近似等于销售量为q时再多销售一个单位产品所增加（或减小）的利润.,由于利润函数为收入函数与总成本函数之差，即,由导数运算法则可知边际利润为,例4 设某产品产量为q（单位：吨）时的总成本函数（单位：元）为,解（1）产量为100吨时的总成本为,求：(1) 产量为100吨时的总成本； (2) 产量为100吨时的平均成本； (3) 产量从100吨增加到225吨时，总成本的平均变化率； (4) 产量为100吨时，总成本的变化率（边际成本）.,（2）产量为100吨时的平均成本为,（元）
5、.,（元/吨）.,（3）产量从100吨增加到225吨时，总成本的平均变化率为,（4）产量为100吨时，总成本的变化率即边际成本为,（元/吨）.,（元）.,例5 设某产品的需求函数为 ，求边际收入函数以及 、50和70时的边际收入.,解 收入函数为 ，式中的销售价格p需要从,需求函数中反解出来，即,于是收入函数为,边际收入函数为,由所得结果可知，当销售量即需求量为20个单位时，再 增加销售可使总收入增加，再多销售一个单位产品，总 收入约增加12个单位；当销售量为50个单位时，在增加 销售总收入不会再增加；当销售量为70个单位时，再多 销售一个单位产品，反而使总收入大约减少8个单位.,（二）弹性分
6、析,定义 对于函数 ，如果极限 存在，则,弹性概念是经济学中的另一个重要概念, 用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度, 或者说一个经济变量变动百分之一时会使另一个经济变量变动百分之几.,弹性分析也是经济分析中常用的一种方法,主要用于对生产、供给、需求等问题的研究.,给定变量，它在某处的改变量称作绝对改变量. 给定改变量与变量在该处的值之比称作相对改变量.,称作函数 在点 处的弹性，记作E，即,函数 的弹性是函数相对改变量与自变量相对改变量比值的极限，它是函数的相对变化率，或解释成当自变量变化百分之一时函数变化的百分数.,由需求函数 可得需求弹性为,需求弹性 表示某商品需求量
7、Q对价格 的变动的反应程度. 根据经济理论，需求函数是单调减少函数，所以需求弹性一般为负值.,利用供给函数 ，同样定义供给弹性,例6 设某商品的需求函数为 求价格为100时的需求弹性, 并解释其经济含义.,解,它的经济意义是：当价格为100时，若价格增加1%，则需求减少2%.,所以,2.右导数:,1.左导数:,复习,由于分段函数在分段区间内表示对应规则的数学表达式是初等函数的表达式，因此对于非分界点求导的方法与非分段函数相同。,对于分段函数的分界点，对于第一种类型的分段函数可直接用导数的定义求；若分段函数是第二种类型的，则必须用导数的定义，分别求该点的左导数和右导数，如两者都存在且相等，其值就
8、是函数在该点的导数，否则，函数在该点的导数不存在。,如何求分段函数的导数？,解,例1,讨论函数 在 处的可导性,解,例2,讨论函数 在 处的可导性,即,函数 在 点不可导,解,1,在 处可导，则常数,解,例4,求,当 时，,当 时，,于是得到,解,例5,设 ，求,当 时，,当 时，,当 时，,例如,连续函数不存在导数举例,在 处不可导， 为 的角点,例如,（如果曲线在点 的切线平行于y轴，那么，函数在该点不可导）,设函数 在点 连续，但,称函数 在点 有无穷导数（即不可导）,在 处不可导,例如,不存在,函数 在连续点的左右导数都不存在（指摆 动不定），则函数 在 不可导,所以在 处不可导,若
9、，且在点 的两个单侧导数符号,相反，则点 为函数 的不可导点,第二章 导数与微分,第八节 微分,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,设边长由 变到 ,正方形面积,的线性函数，且为 的主要部分；,的高阶无穷小，当 很小时可忽略,2.自由落体运动的路程近似值,如图,当时间从 变到 时，,路程有相应的改变量,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,当 很小时，（）是 的高阶无穷小 ，,设函数 在点 处的改变量为 时，,求函数的改变量 ,二、微分的定义,定义,设函数 在某个区间内有定义， 及,在这个区
10、间内，如果,成立（其中是与 无关的常数），则称函数,在点 可微，并且称 为函数,在点 相应于自变量增量 的微分,记作 或 ，即 ,微分 叫做函数增量 的线性主部,由定义知:,(1) 是自变量的改变量 的线性函数;,(2) 上比 高阶无穷小;,(3)当 时, 与 是等价无穷小;,(4)A是与 无关的常数,但与 和 有关.,(5)当 很小时, (线性主部).,附注,自变量x可以看作是它自己的函数，x=x,于是dx= x. 求函数的微分只需先求出函数的一阶导数，再将函数的一阶导数乘以自变量的微分。,dy/dx 可以看作函数y微分与自变量x微分的商，因此导数又称微商。,解,例2,解,例1,设 ,求 .
11、,设 ,求 .,可微的条件,定理,证,(1) 必要性,函数 在点 可微的充要条件是函数,在点 处可导,且 .,在点 可微,则,即函数 在点 可导,且 .,(2) 充分性,函数 在点 可导,即,从而,函数 在点 可导,且,函数 在任意点 的微分,称为函数的,微分,记作 或 ,即 .,三、微分的几何意义,几何意义:(如图),坐标对应的增量.,当 是曲线的纵坐标,增量时, 就是切线纵,曲线段MN.,当 很小时,在点M的附近,切线段MP可近似代替,四、微分的运算法则,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例3,解,设 ,求 .,微
12、分形式的不变性,结论：,微分形式的不变性,设函数 有导数 ,(1)若 是自变量时,(2)若 是中间变量时,即另一变量 的可微,函数 ,则,无论 是自变量还是中间变量,函数,的微分形式总是,例4,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,例5,解,有,即,方程式 确定 为 的函数,求微分 .,方程两边对 求导,故,导数与微分的区别:,1.函数 在点 处的导数是一个定数 ,而微分 是 的线性函数,它,的定义域是R,实际上,它是一个无穷小.,2.从几何意义上来看, 是曲线 在,点 处切线的斜率,而微分,是曲线 在点 处的切线方程在点,处的纵坐标的增量.,五、微分在近似计算中的应用,例6,解,若 在点 处的导数 ,且,很小时,半径10cm的金属圆片加热后，半径伸长了0.05cm,问面积增大了多少？,设,计算函数的近似值,例7,解,1.求 在点 附近的近似值;,( 很小时),计算 的近似值.,设,( 为弧度),常用近似公式,证明,2.求 在点 附近的近似值.,令,( 很小时),例8,解,重写公式：,计算下列各数的近似值.,小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,可导 可微,
