《高等数学 上 教学课件 ppt 作者 张圣勤 黄勇林 姜玉娟第十三章 13-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 上 教学课件 ppt 作者 张圣勤 黄勇林 姜玉娟第十三章 13-3（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十三章 数理统计初步,第三节 参数的区间估计,第三节 参数的区间估计,一 方差已知时，正态总体均值的区间估计,二 方差未知时，正态总体均值的区间估计,三 正态总体方差的区间估计,四 任意总体参数的区间估计,定义 区间估计就是根据样本设法确定两个统计量1, 2 ，使区间（1 ，2 ）包含所要估计的总体参数Y，且包含的概率为已给定的值1- ，即P 1Y2=1- 。 其中区间（ 1 ，2）叫置信区间。1叫置信下限，2叫置信上限，1-叫置信水平，叫显著性水平（或信度）。,一般要求0.1，并常取 =0.05或0.01等。显然置信区间的长度越小，估计越精确；置信水平1-越大，估计越可靠。,注意 因为样本
2、是随机抽取的，故样本值不同，置信区间也不同，所以置信区间（1,2）是随机区间，它以较大的概率（1-）来包含参数Y，譬如取1- =0.99，经多次抽样（每次抽样样本容量为n）后，每组样本值都可以确定一个置信区间（1，2），而所有这些区间（1，2）中约有99%的区间包含真值Y 。,一 方差已知时，正态总体均值的区间估计,1一个正态总体均值的区间估计 设 是来自总体 的一个样本,且2已知，作估计量,对于给定的置信水平1-（或置信度），由U分布知P|U|=1-，（=U/2为双侧临界值）,则 。,所以 即,所以方差已知时，正态总体数学期望（均值）的1-置信区间为,其中=U/2,故总体均值落在区间,内的概
3、率为1-，,例1 设某地区中年人的体重服从正态分布N（，13.52），现随机抽得10人的体重为（单位：kg）74, 95, 81, 43, 62, 52, 86, 78, 74, 67. 试求该地区中年人平均体重的置信区间。（=0.05）。 解 由题意知，,=71.2 =13.5 n=10 =0.05,因为P|U|=1-所以=U/2 =1.96,故,所以的置信下限为：,作统计量 则,的置信上限为：,故所求该地区中年人平均体重的置信区间 为(62.83, 79.57),设总体X与Y相互独立，且 ，且分别有着容量为m和n的样本（x1，x 2- xn），（Y1,Y2-Yn），其样本均值和样本方差分别
4、为,和S12，S22 ，若12 ，22均已知，作统计量,，可以证明,2 二个正态总体均值的区间估计,对于给定的置信水平，由U分布知P|U|=1-，（其中为双侧临界值U/2）,亦即,所以方差已知时，二个正态总体数学期望（均值）之差1-2的1-置信区间为,其中为双侧临界值U/2。,例2 某大学在甲，乙两市去年所招新生中，分别随机抽取6名和5名男生，测得其身高为（单位：cm ） 甲：174，171，176.5，168，172.5，170； 乙：172，178，180.5，174，175。 设甲，乙两市去年所招新生身高分别服从正态分布N（1 ，12）和N（2，22），且12=9.1，22=11.3，求
5、甲，乙两市去年所招新生平均身高之差1-2的1-置信区间（=0.05）,解 因为 m=6,n=5, 12=9.1，22 =11.3,作统计量,则,对于给定的=0.05，由P|U| ）=1-=0.95， 查正态分布表得到双侧临界值=U/2 =U 0.025=1.96,1-2的置信下限为,1-2的置信上限为,所以甲，乙两市去年所招新生平均身高之差1-2的置信区间(=0.05)为（-7.71，-0.09）,且2 未知，此时显然不能再用,来估计了。但考虑到样本方差,是总体方差2 的估计量，,二 方差未知时，正态总体均值的区间估计,1 一个正态总体均值的区间估计 设（x1，x 2- xn）是来自总体 的一
6、个样本，,于是作统计量,，则,对于给定的置信水平1-，由t（n-1）分布知，P（|T| ）=1- ，双侧临界值 =t/2(n-1) 所以,即,即落在区间,所以方差2未知时，正态总体均值的置信区间为：,其中双侧临界值=t/2(n-1),内的概率为1- 。,例3 某种零件重量服从正态分布N（,2 ），,皆未知，从中抽出容量为16的样本，样本值为（单位：kg）：4.8，4.7，5.0，5.2，4.7，4.9，5.0，5.0，4.6，4.7，5.0，5.1，4.7，4.5，4.9，4.9。求零件均值 的置信区间（=0.05， =0.01）,解 由于样本值数据的频数分布为：,计算得：,当=0.05时，,
7、查表得：双侧临界值=t 0.025（15）=2.131，,又,所以 的区间估计为4.753,4.959,当 =0.01时，,查表得双侧临界值为= t 0.005（15）=2.947，,又,所以 的区间估计为4.714,4.998,设总体X与Y相互独立，且 ，且分别有着容量为m和n的样本（x1，x 2- xn），（Y1,Y2-Yn），其样本均值和样本方差分别为,和S12，S22 ，若1,2,1 ，2均未知，但是12= 22，此时来求1-2的置信水平为1-的置信区间。,2 二个正态总体均值的区间估计,作统计量,则,对于给定的显著性水平，由P（|T| ）=1-（其中为双侧临界值t/2（m+n-2）知
8、：,即,所以方差末知时，二个正态总体数学期望（均值）之差1-2的1-置信区间为:,（其中为双侧临界值t/2）,例4 随机地从A，B两批电子元件中分别抽取4和5个元件，测得其电阻为：A：0.143，0.142，0.143，0.137 B: 0.140, 0.142, 0.136, 0.138, 0.140，设它们分别服从正态分布N（1 ，2）和N（2，2），且相互独立，求1-2的1-置信区间（=0.05）,解 因为m=4，n=5，,S1=0.00287, S2=0.00228 =0.05,作统计量,则,由P(|T|)=查t分布表得双侧临界值=t/2(m+n-2)=t0.025(7)=2.3646
9、,所以1-2的1-置信区间（=0.05）为（-0.002，0.006）,又,三 正态总体方差的区间估计,1 均值未知，正态总体方差的区间估计。 设（x1，x 2- xn）是来自总体XN（,2 ）的一个样本，与2 均未知，要确定方差2 的置信区间,=1- 即,=1-,即：方差 2 落在区间,故均值未知，正态总体方差的1- 置信区间为,其中双侧临界值,内的概率为1- ，,例5 已知某种电子元件的使用寿命XN（,2 ），从一批元件中随机抽取14个进行检验，测得其平均寿命,=1950小时，样本方差S2=300 2 ，试以95%的可靠性估计这批电子元件的方差2。,解 由题意n=14，自由度为n-1=13
10、 =0.05,查,(13)表得双侧临界值,/2 =24.736,又(n-1)S2=13*3002 =1170000,2的置信下限为：(n-1)S2/2 =47299.5,2的置信上限为：(n-1)S2/1 =233579.56,故所求2的95%置信区间为 (47299.5,233579.56),2 两个正态总体方差比的估计,设两正态总体N（1,12 ）和N（2,22 ）的均值与方差均为未知。它们的样本容量分别为m，n，且相互独立，样本方差分别为S12 ，S22,要求方差比12/22 的置信区间，作估计量,F=(S12/12)/(S22/22 ) ，则FF（m-1，n-1）。,对于给定的置信水平
11、1-，由F分布知： P1 F 2=1-， 其中双侧临界值1=F1-/2(m-1,n-1),2 = F/2(m-1,n-1),所以P1( S12/S22)/(12/22)2 =1-，,故方差比12/22 的1-置信区间为：,其中双侧临界值1=F1-/2(m-1,n-1), 2=F/2(m-1,n-1),即,例6 两个正态总体N（1，12 ），N（2，22）的均值与方差均为未知，依次各取容量为25，16的两个独立样本。测得其样本方差分别为6.38, 5.15，求此两正态总体方差比12/22的0.90的置信区间。,解 由题意知：m=25,n=16，所以第一自由度为25-1=24,第二自由度为16-1
12、=15,S12 =6.38 S 22 =5.15 1-=0.90 =1-0.90=0.10,/ 2=0.05 查F(24,15)分布表得：双侧临界值2=F/2 (24, 15)=2.29, 1=F1-/2 (24, 15)不能直接查。,但： 1 =F1-/2 (24, 15)=1/ F/2 (15, 24)=1/2.11 所以：12/22 的置信下限为,12/22的置信上限为,故方差比 12/22 的置信区间为(0.541,2.614),=(1/2.29)(6.38/5.15)=0.541,=2.11(6.38/5.15)=2.614,方差比12/22的置信区间的含义是：若区间左端点大于1，则
13、1222 ，它表示总体N(1，12 )的波动较大。若区间右端点小于1，则1222 ，它表示总体N(2,22 ) 的波动性较大。若左端点小于1，而右端点大于1，则从这次试验中难以判定两总体波动性的大小。,四 任意总体参数的区间估计,构造总体参数Y的1-置信区间的步骤,(1) 选用已知分布的统计量 ，含被估参数Y，但的分布与是否知道Y的真值无关。,(2) 由P12=/2，查的分布表求得双侧临界值1和2。由 12解出被估参数Y ，得到不等式Y1YY2 ，则总体参数 Y的1-置信区间为（Y1,Y2）。,设总体X的均值E（X）=,方差D（X）=2，和2 都未知。（x1，x2，-，xn）是来自总体X的样本
14、,样本均值，样本均方差分别为,和,则当n较大时，均值的1-置信区间不仅取决于n的大小，还要看总体的分布。,当总体X服从0-1分布时，E（X）=p, D（X）=2 =p（1-p），,且n 39,则均值=p的1-置信区间为（P1,P2），其中P1，P2是二次方程,的两个根。即,当总体X服从泊松分布P（）时，参数的1-置信区间为（1,2 ），其中双侧临界值 1,2是二次方程,即,的两个根。,例7 在某大学学生会主席选举前，随机地挑选了400名大学生进行民意测验，发现有240名学生都支持原主席连任，求在所有学生中原学生会主席的支持率在此基础上5%的置信区间。,所以U/2 =U0.975=1.96，这是一个大样本0-1分布问题。,解 因为,=240/400=0.60，n=400，1-=0.95,=0.05,所以P1=400/(400+1.962)0.60+1.962/(2400)-1.96,同理P2=0.6468 故：所求的置信区间为(0.5513,0.6468)。,=0.5513,小结,2. 方差已知时，正态总体均值的区间估计,3. 方差未知时，正态总体均值的区间估计,4. 正态总体方差的区间估计,5. 任意总体参数的区间估计,1. 区间估计的概念,
