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1、一、微分中值定理,第三章 导数的应用,微分中值定理 洛必达法则,二、洛必达法则,三、其他类型未定型极限的计算,一、微分中值定理,罗尔定理 如果函数 y = f (x) 在闭区间a, b上连续，,罗尔定理的几何意义是：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于 Ox 轴的切线，,且两端点处的纵坐标相等，,那么其上至少有一条平行于 Ox 轴的切线(如图所示).,那么至少存在一点 x (a, b) ，使 f (x ) = 0.,且在区间端点处的函数值相等，即 f (a) = f (b) ，,在开区间 (a, b)内可导，,x,例 1 不求函数 f (x) = (x 1) (x 2) (x 3) 的导数，
2、说明方程 f (x) = 0 有几个实根，并指出它们的所在区间.,解 显然, f (x) 在区间 1, 2，2, 3 上都满足罗尔定理，,所以至少有 x1 (1, 2)，x2 (2, 3)，使 f (x1) = 0， f (x2) = 0，,又因为 f (x) = 0 是一个一元二次方程，,最多有两个实根，,且分别在区间(1, 2) 和 (2, 3)内.,所以方程 f (x) = 0 有且仅有两个实根，,即方程 f (x) = 0 至少有两个实根，,拉格朗日定理 若函数 f (x) 在闭区间a, b上连续，,在开区间(a, b)内可导，,使得,则至少存在一点 x (a, b)，,拉格朗日中值定
3、理的几何意义：,如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于 Ox 轴的切线，,那么该曲线上至少有这样一点存在，,C,在该点处曲线的切线平行于联结两端点的直线(如图所示).,证,显然 F(x) 在a, b上连续，,在(a, b)内可导，,而,F(a) = F(b) ，,从而知 F(x) 满足罗尔定理.至少存在一点 x (a, b)，使 F (x) = 0，,即,例2 对于函数,，在闭区间,上验证拉格朗日定理的正确性,解 对于函数,在闭区间上,连续，,在区间,内可导，又,由拉格朗日中值定理，存在,，使得,从而解得,例 3 问函数 f (x) = x3 3x 在 0, 2 满足拉格朗日定理的条件吗？,如
4、果满足请写出其结论.,解 显然 f (x) 在 0, 2 上连续,在(0, 2)内可导,定理条件满足，,且,f (x) = 3x2 3，,所以有以下等式：,这个x 是在开区间 (0, 2)内的.,由于 f (2) = 2，f (0) = 0， f (x) = 3x 2 3，将这些值代入，可解得,推论 1 设 f (x) 在 a, b 上连续，,若在(a, b)内的导数恒为零，则在a, b上 f (x) 为常数.,证 取 x0 a, b, 任取 x a, b，x x0,因为 f (x) = 0，所以 f (x) = 0，,故,f (x) = f (x0)，,即函数 f (x) 为常数.,则,推论
5、2,如果在区间,内，,，则在区间,内，,与,只相差一个常数，即,(C为一常数).,证,(C为一常数).,例4 若,，证明,证 设,因为,在区间,上连续，在,内可导，所以满足拉格朗日,中值,定理的条件，于是,而,代入上式为,又因为,所以,柯西定理 若函数 f (x) 和 F (x) 在闭区间 a, b 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，,且 F (x) 在(a, b) 内恒不为零，,则至少存在一点 x (a，b)，,使,二、洛必达法则,例,解,例,解,例 求极限,解,例 求极限,解,=,例 9,解 所求极限是“ ”型未定型，,我们连续 n 次施行洛必达法则，,有,解,例 10,例 11,解
6、,方法一：,上式第二个等号先求出了,故再次使用洛必达法则.,得到的仍是 “ ” 型，,方法二：,例12 求极限,解,例13 求极限,解,三、其他类型未定型极限的计算,在条件允许的情况下，,设法转化为这两种类型,未定型的类型虽然很多，,例 14,解 所求极限为 “0 ” 型未定型，,先将 xnlnx 改写为 ，,使之转化为 “ ” 型未定型，,于是,例15 求极限,解,例16 求极限,例 17,解 所求极限为 “ - ” 型，通分后再运用洛必达法则.,例18 求极限,由例14，知,=,例19 求极限,解,例 20,解,例 21,不是未定型,上式右边不再是未定型，,不能继续使用洛必达法则，,容易算出,例 21,解 所求极限为 “ ” 型未定型.,运用法则得,在使用洛必达法则时，应注意如下几点：,
