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1、甘肃省武威第一中学2019届高三上学期期末考试数学理试题一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2若复数为纯虚数，则实数的值为A B C D或3把函数f（x）的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f（x）=A B C D4“”是“ 函数在区间上单调递减”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（注：“”，即为“”或为“”）A B C D6的展开式中常数项为A BC D7如图，在矩形内：记抛物线与直线
2、围成的区域为（图中阴影部分）随机往矩形内投一点，则点落在区域内的概率是A BC D8在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为给出下列命题：（1）若，则的最大值为；（2）若是圆上的任意两点，则的最大值为；（3）若，点为直线上的动点，则的最小值为其中为真命题的是A（1）（2）（3） B（1）（2） C（1）（3） D（2）（3）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9函数的定义域为 10某几何体的三视图如图所示，其正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图都
3、是等腰直角三角形，则此几何体的体积是 11已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程为 12设实数满足 向量，若，则实数的最大值为 13在数列中，已知， ，且数列是等比数列，则 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为则曲线与曲线的交点个数为_个15（几何证明选讲选做题）如图4，已知是的直径，是的切线，过作弦，若，则 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算
4、步骤16（本小题满分12分）已知函数的图像经过点（1）求的值；（2）在中，、所对的边分别为、，若，且求17（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图（1）：网购金额（单位:千元）频数频率合计若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为（1）试确定，的值，并补全频率分布直方图（如图（2）（2）该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定人，若
5、需从这人中随机选取人进行问卷调查设为选取的人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望18（本小题满分14分）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，（1）求证平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的余弦值19（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足（1）求，的值；（2）求；（3）设，数列的前项和为，求证：20（本小题满分14分）如图，直线，抛物线，已知点在抛物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为（1）求直线及抛物线的方程；（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，的斜率分别为， 问：是否存在实数，
6、使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由21（本小题满分14分）已知函数（1）求在上的最大值；（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值理科数学答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择
7、题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题每小题5分，满分40分12345678D ADADCB A二、填空题：本大题每小题5分，满分30分三、解答题16（本小题满分12分）解：（1）由题意可得，即 2分， ， 5分（2）， ， 7分 8分由（1）知， ， 10分又，12分【说明】 本小题主要考查了三角函数的图象与性质，三角恒等变换，以及余弦定理等基础知识，考查了简单的数学运算能力17解：（1）根据题意，有解得 2分，补全频率分布直方图如图所示4分（2）用分层抽样的方法，从中选取人，则其中“网购达人”有人，“非网购达人”有人6分故的可能取值为0，1，2，3； ， ，10分所以的分布列为： 12分
8、【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力18（本小题满分14分）解：（法一）（1）取中点为，连接、， 且，则 且2分 四边形为矩形， 且，且，则 平面，平面， 平面 4分（2）过点作的平行线交的延长线于，连接， ，四点共面四边形为直角梯形，四边形为矩形，又，平面，又平面平面，为平面与平面所成锐二面角的平面角7分，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为9分（3）过点作于，连接，根据（2）知，四点共面，又， 平面， ，则又， 平面直线与平面所成角为 11分，即直线与平面所成角的余弦值为 14分（法二）（1
9、）四边形为直角梯形，四边形为矩形，又平面平面，且平面平面，平面以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系根据题意我们可得以下点的坐标：， 则， 2分， 为平面的一个法向量又，平面 4分（2）设平面的一个法向量为，则， ， 取，得 6分平面，平面一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为9分（3）根据（2）知平面一个法向量为， ，12分设直线与平面所成角为，则因此，直线与平面所成角的余弦值为14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能
10、力，考查用向量方法解决数学问题的能力19解：（1）当时，有，解得当时，有，解得2分（2）（法一）当时，有, 得：，即：5分 8分另解： 又当时，有， 8分（法二）根据，猜想：3分用数学归纳法证明如下： （）当时，有，猜想成立 （）假设当时，猜想也成立，即：那么当时，有，即：，又 ， -得：，解，得 当时，猜想也成立 因此，由数学归纳法证得成立8分（3）， 10分 14分【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想20（本小题满分14分）解：（1）（法一）点在抛物线上， 2分设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，由 得，
11、 ，由，得，则直线方程为两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，有，解得或（舍去）直线的方程为，抛物线的方程为6分（法二）点在抛物线上， ，抛物线的方程为2分设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，根据图象，有，的最小值为，由，解得因此，直线的方程为，抛物线的方程为6分（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由 得，设点、的坐标分别为、，则， 9分10分由 得， 13分因此，存在实数，使得成立，且14分【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想21（本小题满分14分）解：（1），2分令，解得（负值舍去），由，解得（）当时，
