《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第3章 线性方程组 在3.1中》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第3章 线性方程组 在3.1中（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,在证明定理3.1之前，,先介绍初等矩阵的知识,定义3.2,对单位阵,实施一次初等变换所得到的,称为初等矩阵,矩阵,三种初等变换对应于三种类型的初等矩阵：,（1）互换单位阵,得到初等矩阵，,记作,即,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,（2）用,乘单位阵,得到初等矩阵,首页 上页 下页 返回 结束,（3）用,乘单位阵,（或用,乘单位阵,得到初等矩阵,首页 上页 下页 返回 结束,三种初等矩阵都是可逆的，,它们的逆阵是与其同一,类型的初等矩阵，,即,；,；,初等矩阵具有下列性质：,性质3.1,设,是一个,矩阵，,对,进行一次初,等行变换，,相
2、当于在,的左边乘以相应的,阶初等矩,对,进行一次初等列变换，,相当于在,的右边乘,阶初等矩阵,阵；,以相应的,首页 上页 下页 返回 结束,例如，可以验证,右端的矩阵,相当于直接互换,首页 上页 下页 返回 结束,性质3.2,方阵,可逆的充分必要条件是,存在有限,个初等矩阵,使,证,(充分性),若,由于初等矩阵,都可逆，,所以它们的乘积,仍可逆，,即,可逆,的结果,相当于直接互换,其他两类初等矩阵左乘或右乘,也有相应的结果,(必要性),同理，,首页 上页 下页 返回 结束,若,为,阶可逆矩阵，,设,的标准形为,则,即,经过有限次初等变换可化成,又由性质1知，,存在有限个初等矩阵,使,由于,可逆，,且初等矩阵,都可逆，,可逆，,即,首页 上页 下页 返回 结束,下面利用初等矩阵的性质证明定理3.1 ,证明,（1）由矩阵行等价的定义，,矩阵,经过有限次初等行变换变成,由性质3.1知，,矩阵,经过有限次初等行变换变成,存在有限个初等矩阵,使,令,由性质3.2知，,可逆，,故,存在,阶可逆矩阵,使,类似地，可证得结论（2）和（3）,
