《离散信号处理——应用与实践 教学课件 ppt 作者 张延华 黎玉玲 编著 第4章 z变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散信号处理——应用与实践 教学课件 ppt 作者 张延华 黎玉玲 编著 第4章 z变换（109页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4章 z变换,4.1 双边z变换 4.2 收敛域 4.3 DTFT与z变换的关系 4.4 双边z变换的性质 4.5 常用序列的z变换 4.6 零点、极点和z平面 4.7 逆z变换 4.8 系统（传递）函数 4.9 单边z变换 4.10 双边z变换和单边z变换的关系 4.11 z变换的应用,4.1 双边z变换,一个序列,的离散时间傅立叶变换（DTFT）已知为：,为使上式收敛，,信号,x(n)必须绝对可求和。,离散信号x(n)的双边z变换定义如下：,式中,是一个复变量。,（4-1）,(4-2),存在，亦即级数收敛,的所有z值的集合称为,收敛域（ROC）。,由于,的定义式是关于z的幂级数形式，,所
2、以它就不一定对所有的z都保证收敛。所有能够保证收敛的z值集合就构成了,的收敛域。因此，两个不同的信号序列有可,能具有相同的双边z变换，但收敛域却可以不同。需要强调的是，与Laplace变换不同，z变换的收敛域和,有密切关系，,在处理双边z变换时必须注意。,表4-1列出了一些常用信号的双边z变换。对于有限长度信号，z变换可以写成z的多项式形式。,在z平面上使,例4-1,令离散序列,，该序列的等价形式可写为,。它的z变换是,，显然该式无法写成闭式。,它的收敛,域是除,和,（或,）的整个z平面 。,例4-2,令离散序列,根据定义式，我们可写出它的闭式解为：,，这是一个有N个样本值的,矩形或窗函数序列
3、，其z变换可写为,ROC:,例4-3 令序列,，试用定义式计算z变换并确定其收敛域。,解：,的z变换如下：,ROC:,4.2 收敛域,由z变换的定义已知,是关于z的一个幂级数，所谓收敛域是指,使,的值为有限的z值的集合，这就要求在运用z变换时需讨论,它的收敛域。,现令复变量,，它的z变换为：,(4-3),在,的收敛域ROC内，,，但由于,(4-4),故只要序列,满足绝对可求和条件，,就是有限的。,由此可知，,因此，若,的收敛域问题等价于确定使序列,满足绝对可求和条件的r的取值范围。,在复平,面上的某个区域收敛，则式(4-4)中不等式右端的两个求和项必定在该区域上有界。显见，如果式(4-4)中不
4、等式右端的第一个求和项收敛，则一定存在一个足够小的r值使,成立，那么该项的收敛域自然就由位于半径,的圆内部分组,成,的圆内部分组成，如图4-1(a)所示。除此之外，如果式(4-4)中,存在一个足够大的,r值使,成立，那么该项的收敛域也就由位于半径,的圆外部分组成，如图4-1(b)所示。,不等式右端的第二个求和项收敛，则一定,图4-1,的收敛域（阴影部分）,由于,的收敛要求式(4-4)中的两个求和项都有界，,又由于z,变换是复变,量的函数，可以方便地用复z平面描述，故在z平,面上,的收敛域就是由两个求和项都有界的公共区域所构成，,通常这个公共区域是z平面上的一个环状区域,，如图,4-1(c)所示
5、。如果,，式(4-4)中的两个求和项就没有共同的,收敛区域，此时,也就不存在。,综上所述，收敛域是形如,的环形域。如果,收敛域(ROC)还包括z=0,点；如果,收敛域ROC还包括无穷,大。如果,是z的有理函数，它的收敛域还取决于,是单边,的还是双边的，如图4-2所示。,图4-2,的收敛域：a)右边序列的收敛域；b)左边序列的收敛域；c)双边序列的收敛域,例4-4,设,，,(这种序列称为左边序列)，,试用定义式计算z变换并确定其收敛域。,解：,的z变换如下：,ROC1,:0|z|a|,式中,。对应于图4-2中的a)图。,例4-5 设,(这种序列称为右边序列)，试用,定义式计算z变换并确定其收敛域
6、。,解：,的z变换如下：,ROC:,，或者ROC2:,对应于图4-2中的b)图。,例4-6 设,(这种序列称为,双边序列)，试用定义式计算z变换并确定其收敛域。,解：,的z变换如下：,收敛域为,，对应于图4-2中的c)图。若,，则收敛域ROC3是一个空集，,不存在；若,，则ROC3为,|a|z|b|，且,存在于一个环状区域，如图4-3所示。,图4-3 双边序列的收敛域：(a),的收敛域不存在；(b),存在环状收敛域,收敛域的性质,通过观察以上三例中的收敛域，我们可以总结出ROC的性质以下：,由于收敛条件均由z的模|z|所决定，故收敛域总以某个圆为边界。,2.如果存在一个序列，它在,和,时其值为
7、零，则称为有,限长度序列。,有限长度序列的z,变换的收敛域是整个z平面。若,，则z = 不属于收敛域；若,，则z = 0不属于收敛域。,3.当n小于某个特定的,，即,时，序列,的值为零，称之,为,右边序列。右边序列的z变换,的收敛域位于以最大极点的模为,半径的圆外。,如果,，右边序列也称之为因果序列。,4.当n大于某个特定的,，即,时，序列,的值为零，,称之为左边序,。左边序列的z变换的收敛域位于以最小极点,的模为半径的圆内。,如果,左边序列也称之为非因果序列。,5.若双边序列,的z变换的收敛域存在，则它位于最,大极点半径和最小极点半径构成的圆环内。,6.由于,在收敛域内一致收敛，故其ROC内
8、不能包含极点。,若为有理函数，则其收敛域边界上至少有一个极点。,7.,8.收敛域一定是连通的区域，也就是说收敛域不可分割成几片。,事实上数字信号处理所涉及的信号一般都假设是应果的（因为信号几乎都来源于实时获取），因此，我们更关注的收敛域是上述的第2种，也就是右边信号序列。,例4.7,设,，试确定其收敛域。,解：z变换的收敛域取决于信号序列的性质，因此，,假设信号序列,是右边序列，则其z变换的收敛域是,（因为系统最大极点的模,）。,假设信号序列,是左边序列，则其z变换的收敛域是,（因为系统最小极点的模,）。,假设信号序列,是双边序列，则其z变换的收敛域是,和,不为收敛域，因为这两个区域没有连通。
9、,4.3 DTFT与z变换的关系,z变换可以看作是指数加权序列的离散时间傅立叶变换这是因为,时，由式（4-3）知,的z变换就是序列,的DTFT，即,此时，收敛域ROC由,的取值确定，但需满足：,当,又由于z变换是复变量的函数，若令,，则以z的实部和虚部为坐标作出的z平,面中对应于,的围线是半径为1的单位圆。单位圆上的z变换与对应的DTFT等价，即,(4-5),注意到,通常是关于频率的复函数，因此可以用其实部,和虚部进行描述，即：,（4-5+）,式中,和,都是,的实函数，而,（4-5+）,因此，通过计算单位圆上各点的,值（比如从,=1(,=0)开始，,到,=j (,=,/2),再到,(,=,)）
10、，,我们就可以得到,0,的,(e,)值，如图4-4所示。需要注意的是，为保证一,个序列的DTFT存在，,平面上的单位圆必须包括在,的收敛域内。,图4-4 由单位圆上各点的,值计算,(e,)值,4.4 双边z变换的性质,线性性质,(4-6),收敛域是Rx1和Rx2的交集，即ROC：Rx1Rx2。,注意，当序列的线性组合中z变换出现零、极点的对消时，则收敛域可能会扩大。,2.移位性质,(4-7),收敛域为ROC: Rx（可能增加或除去,或者,点）。这里,是一个整数，如果,，则原序列,将向右移；如果,，则原序列,将向左移。,3.指数（或缩放）性质,(4-8),指数性质相当于对z域进行尺度变换。,其收
11、敛域ROC:,表示ROC是Rx，但被,改变了尺度。也就是说，,如果Rx代表一个,满足,的z值的集合，那么,就是,的z值的集合。,如果a = -1，则得到一个有用的结果：,(4-9),4反折（或时间倒置）性质,收敛域ROC：1/ Rx。,如果要从信号的z变换来检验信号的对称性，就会用到反折性质。对于偶对称序列，有,，则由反折性质得,；对于奇对称序列，有,，则由反折性,质得,5复共扼性质,(4-10),收敛域ROC：Rx。,作为一个推论，注意到如果,是实数序列，则有,那么,6微分性质,(4-11),收敛域ROC：Rx（可能增加或除去,或者,点）。,反复应用微分性质，就可得到当k为任意整数时,的z变
12、换，即,7卷积定理,(4-12),收敛域是Rx1和Rx2的交集，即ROC：Rx1Rx2。,注意，如果序列z变换的乘积,中出现零、极点的对消，,则收敛域可能会扩大。,8. 相关性质,根据式（2-48）和（2-49），已知序列,和,的互相关为：,则时域中的相关运算在z域中就存在相乘的关系：,（4-13）,收敛域是Rx1和Rx2的交集，即ROC：Rx1Rx2。,特别，针对自相关运算，其时、z域之间的关系就简化为,可见，z变换也可用于求自相关。,另外，如果序列,是归一化不相关的，这里所谓的归一化,不相关，是指对任意,，有,对,，则有,，这里c为不等于零的常数。如果这个常数,，则称为归一化,不相关。则在
13、z变换域中的条件就等价于,9初值定理,如果,时，,，即序列是应果的或右边的，则有,（4-14）,4.5 常用序列的z变换,表4-2 常用序列的z变换对,例4.8 求,的z变换。,解：运用微分性质，得,例4.9 求,的z变换。,解：运用指数（或缩放）性质，得,例4.10 求N点指数冲激序列,的z变换。,解：令,是一矩形或窗序列，则其z变换为,于是,的z变换为,例4.11 求,的z变换。,解：序列可写为,所以它的z变换为,收敛域为,|,| 1,。两项合并并化简可得,例4.12 求,的z变换。,解：由上题结果，运用指数性质可得,例4.13 求,的z变换。,解：,可写成,由线性性质和反折（转）性质，我
14、们可得,化简得,例4.14 已知序列,的z变换为,如果收敛域包括单位圆，求该序列在,处的DTFT。,解：已知单位圆在收敛域内，则,的DTFT可通过计算单位圆,上的,得到，即,因此，,=,处的DTFT为,由此可得,4.6 零点、极点和z平面,在数字信号处理的诸多应用中，信号的,变换往往可以表示成,如下所示的,的有理函数形式：,(4-15),式中,。为方便对上式进行因式分解，我们进行如下操作：,式中,。现对上式因式分解，得到：,或,(4-16),显然，,在,（分子多项式的根）处有M个有限,零点，在,（分母多项式的根）处有N个有限极点。,特别是，若,（分母阶次高于分子阶次），则在,（原点）,处有N-
15、M个零点；若,（分母阶次低于分子阶次），则在,（原点）处有M-N个极点。,极点及零点还有可能出现在,处。换句话说，如果,，则在,处存在零点；如果,，则在,处存在极点。考虑到位于原点（,）和无穷远点（,）处,的极点和零点数目正好相等。,的零、极点，将会发现,例4.15,令,b=1 1 0; a=1 2.7 4 -0.76 0.76 -0.3; zero=roots(b) zeros = 0 -1 poles=roots(a) poles = -1.4911 + 1.5533i -1.4911 - 1.5533i -0.0112 + 0.4607i -0.0112 - 0.4607i 0.3047,，试求出零、极,点并画图。,解：运用MATLAB函数roots求出系统的零、极点,运用MATLAB函数zplane画出系统的零、极点图，如图4-5所,图4-5 系统的零、极点分布图,示。,例4-16 两个非因果序列的,z变换分别为,。求,解：根据z变换的定义，可知,和,，由于是,非因果序列，故用,MATLAB给出的卷积函数conv，求其乘积并,不方便。本节给出一个针对非因果
