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1、第4章 代数系统,杨圣洪,发展历史 代数学或抽象代数是数学的一个古老分支，历史悠久 近一百年来，随着数学的发展和应用的需要，一系列新的代数领域被建立起来，大大的扩充了代数学的研究范围，形成了所谓的近世代数学。 在19世纪初，数学中一个长达三世纪之久而未能解决的难题，即五次和五次以上方程的根式解问题 被挪威青年数学家阿贝尔（N.H.Abel,1802-1829）和 法国青年数学家伽罗瓦（E.Galois,1811-1832） 所彻底解决，他们在解决这一问题时引入了一种新概念和新思想，即置换群的理论，它对今后数学的发展， 特别是代数学的发展起着巨大的关键性作用。因此可以说，伽罗瓦和阿贝尔是群论和抽
2、象代数的真正创始人。,发展历史 伽罗瓦是法国巴黎郊区一个小镇镇长的儿子。 他的父亲是一个自由主义者，母亲受过良好的教育，是伽罗华的启蒙老师。 12岁以前，伽罗华一直是在他母亲的教育下长大的，在这时期他学习了希腊语、拉丁文和通常的算术课。 1923年伽罗华离开双亲，考入巴黎预科学校路易勒格兰学院(皇家中学)，开始接受正规学校的教育。 在第三年，他报名选学了第一门数学课。 由于他的老师深刻而生动的讲授，伽罗华对数学产生了浓厚的兴趣，他很快地学完了通常规定的课程，这些功课的学习，使他思路开阔，科学创造的思维能力得到了训练和提高。 1829年3月他在纯粹与应用数学年报上发表了他的第一篇论文周期连分数的
3、一个定理的证明。这时的伽罗华还是一位中学生。,发展历史 在1830年，19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和方法，从而创立了群论。 群论是近世抽象代数的基础，它是许多实际问题的数学模型，应用极其广泛， 可以推出五次以上一般代数方程根式不可解 用圆规、直尺（无刻度的尺）不可能解决：三等分角问题(将任一个给定的角三等分)、 立方倍积问题(求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍)、 化圆为方问题(求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等)这个问题。,伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱， 1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗
4、中死去，年仅21岁。 伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿 伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在百科评论中。他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(18091882)编辑出版了他的部分文章 发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究 对物理、化学等科学有直接的实践意义，成为众多学科的基础,4.1、什么是代数运算 小学的“+”四则运算可知，两个整数相加、相减、相乘仍是整数，相除不一定是整数。 今天我们将学习与“+”类似的运算，姑且称
5、为“广义的加减乘除”。 当将变量的取值范围，限制为A=1,2的幂集,即为P(A)=,2,1,1,2，可在P(A)中定义广义“加”与“乘”, xP(A), yP(A) x+y =xy, xy=xy,有: +=, +1=1=1 +2=2=2 +1,2=1,2=1,2 1+=1=1, 1+1=11=1 1+2=12=1,2 1+1,2=11,2=1,2 =, 1= 1= 2=2= 1,2= 1,2= 1=1=, 1 1=1 1=1 12=12= 1 1,2=1 1,2=,4.1、什么是代数运算 由“+”四则运算，知道两个整数相加、相减、相乘仍是整数，相除不一定是整数。 今天我们将学习与“+”类似的运
6、算，姑且称为“广义的加减乘除”。 当将变量的取值范围0,1，则可定义广义“加”与“乘”, xBoolean, yBoolean x+y =xy, xy=xy,有如下表达式: 0+0=00=0, 0+1=01=1 1+0=10=1, 1+1=11=1 00=00=0, 01=01=0 10=10=0, 11=11=1,4.1、什么是代数运算 我们很小就学习的“+”四则运算，知道两个整数相加、相减、相乘仍是整数，相除不一定是整数。 今天我们将学习与“+”类似的运算，姑且称为“广义的加减乘除”。 当将变量的取值范围n阶方阵A(n,n),A中每个元素的值为实数，则定义广义“加”、“减”、“乘”。 对应
7、元素加减乘 x+y =(x(i,j)+y(i,j), x-y =(x(i,j)-y(i,j), xy=(x(i,j) y(i,j), 普通矩阵乘 xy =(x(i,j)y(i,j),4.1、什么是代数运算 我们很小就学习的“+”四则运算，知道两个整数相加、相减、相乘仍是整数，相除不一定是整数。 今天我们将学习与“+”类似的运算，姑且称为“广义的加减乘除”。 从以上实例可知，尽管参与运算的对象不尽一致，有集合、布尔变量、矩阵、整数，它们都有相同的性质： (1)参与运算的对象同一个集合的2个对象，如2个整数、2个子集、2个布尔变量、2个矩阵。 这种运算符称为双目运算符。 还有单目运算符，p (2)
8、运算后的结果仍属于同一个集合，仍为整数、子集、布尔量、矩阵，这称为该运算是封闭的。 并不是所有的运算都封闭。如23不是整数,4.2、代数运算的定义 若幸运！可用运算符来定义 xP(A), yP(A) x+y =xy, xy=xy xBoolean, yBoolean x+y =xy, xy=xy x+y =(x(i,j)+y(i,j), x-y =(x(i,j)-y(i,j), xy=(x(i,j) y(i,j),， 若不幸，即不能运算符来表示，这时只能给出运算表，如真值表一样。只适合于运算对象有限的情形!,4.2、代数运算的定义 xP(A), yP(A) x+y =xy, xy=xy xBo
9、olean, yBoolean x+y =xy, xy=xy x+y =(x(i,j)+y(i,j), x-y =(x(i,j)-y(i,j), xy=(x(i,j) y(i,j), 若幸运，有些运算来既可用运算符,又可用运算表 xy=(xy) mod 5 x,y0,1,2,3,4,4.3、运算的性质 1、交换律 设是集合S上的二元运算，若x,yS都有xy=y x， 则称在S上是可交换的， 或者说运算在S上满足交换律。 如： xP(A), yP(A) x+y =xy, xy=xy xBoolean, yBoolean x+y =xy, xy=xy x+y =(x(i,j)+y(i,j), x-
10、y =(x(i,j)-y(i,j), xy=(x(i,j) y(i,j) 整数上的加、减、乘满足交换律！ 若运算表是对称的，则满足交换律。,4.3、运算的性质 1、交换律 设是集合S上的二元运算，若x,yS都有xy=y x， 则称在S上是可交换的， 或者说运算在S上满足交换律。 若运算表是对称的，则满足交换律。xy=(xy) mod 5 x,y0,1,2,3,4,4.3、运算的性质 2、结合律 设是集合S上的二元运算，若x,y,zS都有(xy)z=x(yz)， 则称在S上是可结合的,或者说运算在S上满足结合律。 如：x,y,zP(A) (x+y)+z=(xy)z=x(yz)=x+(y+z) (
11、xy)z=(xy)z=x(yz)=x(yz) 当运算满足结合律时，常将决定运算次序的园括号去掉，如(x+y)+z=x+y+z。 普通的加、乘、集合的并、交、逻辑的与、逻辑或、矩阵的加、乘满足结合律。,三、运算的性质 2、结合律 设是集合S上的二元运算，若x,y,zS都有(xy)z=x(yz)， 则称在S上是可结合的,或者说运算在S上满足结合律。 如：x,y,zP(A) (x+y)+z=(xy)z=x(yz)=x+(y+z) (xy)z=(xy)z=x(yz)=x(yz) 当运算满足结合律时，常将决定运算次序的园括号去掉，如(x+y)+z=x+y+z。 普通的加、乘、集合的并、交、逻辑的与、逻辑
12、或、矩阵的加、乘满足结合律。,4.3、运算的性质 3、幂等律 设是集合S上的二元运算，若xS都有xx=x， 则称在S上是幂等的,或者说运算在S上满足幂等律。 如：xP(A) x+x=(xx)=x , xx=(xx)=x 逻辑的与、逻辑或满足结合律。 有些运算不满足幂等律，但是集合S中的某些元素满足！ 如普通加法不满足幂等，但0满足0+0=0, 普通乘法不满足幂等，但1满足11=1。 普通矩阵的乘法不幂等，但单位矩阵满足！,4.3、运算的性质 4、分配律 设与*是集合S上的二种运算，若x,y,zS都有 x*(yz)=(x*y)(x*z)， (yz)*x=(y*x)(z*x) 则称*对是可分配的。
13、 如： x,y,zP(A), 对可分配， x(yz)=(xy)(xz) 对也可分配， x (yz)=(xy)(x z) 逻辑的与、逻辑或满足结合律。 有些运算不满足幂等律，但是集合S中的某些元素满足！ 如普通加法不满足幂等，但0满足0+0=0, 普通乘法不满足幂等，但1满足11=1。 普通矩阵的乘法不幂等，但单位矩阵满足！,4.3、运算的性质 5、吸收律 设与*是集合S上的二种可交换的二元运算，若x,yS都有 x*(xy)=x ， x(x*y)=x则称*与是满足吸收律。 如： x,y,zP(A), x(xy)=x， x (xy)=x 又如： x,y,z命题变元 x (xy)=x， x (x y
14、)=x 小结： 交换律、结合律、幂等律、分配律、吸收律是普通的加与乘、集合的并与交、命题变元的与或等运算的规律的总结、推广！,4.3、运算性质 6、单位元 设是集合S上的二元运算，如果集合S中的某元素eL，对xS都有 eLx=x 则称之为左单位元。 设是集合S上的二元运算，如果集合S中的某元素eR，对xS都有 xeR=x 则称之为右单位元。 如果S中某个元素既是左单位元，又是右单位元，则为单位元。 如：A= A=A 0+x=x+0=x 1*x=x*1=x,4.3、运算性质 6、单位元 对xS都有 eLx=x 则称之为左单位元。 对xS都有 xeR=x 则称之为右单位元。 定理:设是S上的二元运算,若存在左单位元eL与右单位元eR,则eL=eR=e且唯一 证明： xS都有eLx=x eLeR=eR xS都有 xeR=x eLeR=eL 由以上二式可知eR=eL，即两个单位元的值相等，不妨将其值记为e ，则e既是左单位元，又是右单位元，故由单位元定义可知,e是单位元。 如： A= A=A 0+x=x+0=x 1*x=x*1=x,4.3、运算性质 7、零元 对xS都有 Lx= L 则称之为左零元。 对xS都有 x R = R 则称之为右零元。 若既是左零元，又是右零元则为零元。 如实数中乘法中的0：0*x=0=x*0. 交集运算中空集： A=A 与运算中的逻辑假0：0x=0=x0
