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1、,内容提要,本章主要介绍线性一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应，线性一阶电路的阶跃响应和冲激响应；积分电路和微分电路；二阶电路的零输入响应。,9.1 暂态过程的基本概念,9.2 换路定则和初始值的确定,9.3 一阶电路的零输入响应,9.4 一阶电路的零状态响应,9.5 一阶电路的全响应及三要素法,9.6 一阶积分电路与微分电路,9.7 一阶电路的阶跃响应,9.8 一阶电路的冲激响应,9.9 二阶电路的零输入响应,在一些电子设备上，有的电路系统需要延时启动，这就需要在电源和电路系统之间接入延时电路。,【引例】,图示是由RC串联电路组成的延时启动电路。当开关S闭合后，从输入、输出电压的波形中
2、可见， 是从0V瞬间上升到5V， 从0V缓慢上升到5V，实现了电路系统的延时启动。那么，为什么输出电压会出现延时？输出电压是按着什么规律变化的？延时时间的长短和什么关系？,当电源恒定或周期性变化时，所产生的响应也是恒定 的或周期性变化的，这种电路称为稳态电路。 实际电路的工作状态总是发生变化的，例如电源的接 通或断开，电源电压、电路元件参数改变等，都会使电路 中的电压、电流发生变化，导致电路从一个稳定状态转换 为另一个稳定状态。,若电路中存在电感和电容元件，电路的转换过程不是 一瞬间完成的，而是要经过一定的转换过程，这个转换过程称为暂态过程或过渡过程。此时的电路称为暂态电路。,换路：将电源的接
3、通或断开、电压或电流的改变、电路 元件的参数改变统称为换路。,我们先来分析图a)电路的暂态过程。,当开关S断开时（换路前），电容未储存能量，即,对于线性电容元件，在任意时刻，其上的电荷和 电压的关系为,一般将电容储存能量的过程称为电容的充电。电容 充电的电压波形如图 b）所示。,1.经典法 由于电容、电感的伏安关系分别为 和 所以含有电容、电感的电路，所列出的KCL和KVL方程都是微分方程。所以，经典法就是微分方程法。,2.拉普拉斯变换法,设 为换路时刻， 为换路前的末了瞬间， 为换路后的初始瞬间， 到 为换路瞬间。,所谓初始值，是指换路后初始瞬间的电压、电流值， 即 时的电压、电流值。,对于
4、线性电容元件，若换路瞬间前后电流,限值，则电容上的电荷和电压不发生跃变。,为有,换路定则:,在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。,同理， 对于线性电感元件，若换路瞬间前后电压 为有限值，则在换路瞬间（ 到 ），电感中的 磁链和电流不发生跃变，即,求解初始值的具体步骤如下：,在原稳态电路中，电容相当开路，电感相当短路。,画出 时的等效电路，将电容和电感进行等效替代。 对于电容： 当 时，电容相当短路； 当 时，电容相当是一个电压值为 的电压源。 对于电感： 当 时，电感相当断路； 当 时，电感相当是一个电流值为 的电流源。,【解】（1）求独立初始值。,根据换路定则，有,（2）求非独立
5、初始值。,由等效电路求出,【解】（1）求独立初始值。,所以,用一阶线性微分方程描述的电路称为一阶电路。一阶电路产生的响应有三种情况，即零输入响应、零状态响应和全响应。,所谓零输入响应，是指换路前储能元件已经储能，换 路后仅由储能元件释放能量在电路中产生的响应。,，,此时，电容通过电阻进行放电，最后将能量全部释 放掉，电路达到新的稳态。,开关S置于位置2的电路如图b）所示。,换路,t 0 :,电容放电，,讨论的问题是：,从,（1）,（2）,（2）式为一阶常系数线性齐次微分方程，其方程的通解为,A 为积分常数,P 为特征方程式的根,其中,随时间变化，故通常称为暂态分量。,得特征方程为,故：,所以,
6、变化曲线为,关于时间常数的讨论：,的物理意义: 决定电路暂态过程变化的快慢。,单位为秒（s）,可见，实际上电路的暂态过程经过,的时间就结束了。,1.通过电路的参数求出，即,3.通过测试作指数曲线上任意点的切线求出,测试法求时间常数 作指数曲线求时间常数,的大小对暂态过程的影响：,【解】电路是零输入响应。,则,各电流分别为,其方程的通解为,通解为,特征方程为,特征根为,积分常数为,电感电流为,时间常数为,电感电压为,【解】（1）,【解】（1）,电压表读数为,半导体二极管,半导体二极管的作用相当是电子开关。当开关S打开 时，二极管导通，将电压表短接，电感的能量就通过与二 极管构成的电路释放掉。,为
7、了保护电压表和开关，在电感线圈两端并联一个半导体二极管。,所谓零状态响应，是指换路前储能元件未储能， 换路后仅由独立电源作用在电路中产生的响应。,换路,从,此种微分方程的解由两部分组成：,即,实际上是常数，即为电路的稳态值。,电路的特解为,1.求特解,也称为稳态分量。,2. 求通解,随时间变化，故通常称为暂态分量。,其解为指数，即,所以,故齐次方程的通解为 ：,3.微分方程的全部解,变化曲线为,【解】此题分段求解。,（1）在,时间内，电容的,充电电压为,所以，,在,后，电容放电的电压为,时,（2）当,时，电容电压,充到,（3）电容放电需要近似,的时间。,（4）电容充电与放电的电压波形如图b所示
8、。,由KVL列出,时的电压方程,此微分方程的解为：,其中，,所以,变化曲线,所谓全响应，是指换路前储能元件已经储能，换路后由储能元件和独立电源共同作用在电路中产生的响应。,全响应工作状态时的方程式为,方程的解为,电路的积分常数为,所以，,将上式改写成,全响应是稳态分量与暂态分量之和。,全响应是稳态分量与暂态分量之和。,其中，,由上式可见，只要求出电路的初始值、稳态值和时 间常数，就可方便的求出电路的零输入、零状态和全响 应。所以仿照上式，可以写出在直流电源激励下，求解 一阶线性电路全响应的通式，即,三要素,(1) 求换路前的,(1) 画出新稳态的等效电路 （注意:在直流电源 的作用下, C相当
9、于开路, L相当于短路）；,(2) 由电路的分析方法， 求出换路后的稳态值。,(3) 将储能元件以外的电路，视为有源一端口网络，然后应用戴维南定理求等效内阻的方法求 Req。,【解】（1）用三要素法,s,用电源的等效变换方法 化简的电路如图b、c、d所示。,由图d图得,在新稳态时，电容相当开路，如右图所示。,由右图得,（2）电压、电流的变化曲线为,【解】（1）用三要素法,其中，,用外加电压法求等效电阻，见右图。,由右图得,电感中的电流为,电感电压为,所谓积分电路和微分电路，是指在特定的条件下， 电路的输出与输入之间近似为积分关系和微分关系。,1.RC 积分电路,1.RC 积分电路,则,可见，输
10、出电压和输入电压的积分成正比。,【解】此题可用两种方法求解电路的响应。,用三要素法分段求解。,时间内,时间内，,电路为零输入响应。,所以,电容电压变化的曲线为,2.用阶跃信号求解。,首先将输入方波信号分解为 两个一般的阶跃信号，即,然后应用叠加原理求其阶跃响应：,单独作用时，,单独作用时，,【解】将输入方波信号分解为两个单位延迟的阶跃信号，,单独作用时,单独作用时,总电流为,冲激信号在工程应用中也会碰到，下面进行分析。,且满足,该信号在,值为1，即冲激强度为1，故称为 单位冲激信号。,时间内的积分,一般冲激信号：,冲激强度为K,延迟单位冲激信号：其表达式为,强度为K的延迟冲激信号,常用的冲激信
11、号：,冲激信号可理解为是作用时间极短，幅度极大的脉冲信号。,冲激信号的量纲：,的量纲为,一般冲激信号的量纲：,的量纲为电流A,的量纲为电压V,冲激信号的主要性质是：,1单位冲激信号的积分等于单位阶跃信号，单位阶跃 信号的导数等于单位冲激信号，即,和,2冲激信号的取样性。,同理，有,2冲激信号的取样性。,同理，有,将t=0时刻的值取出来,冲激响应：是指以冲激电源作为激励使电路引起的 零状态响应。,这个冲激电流会在t = 0瞬间在电容两端建立电压，即,可见，在极短的时间内，冲激电流在电容中就注入了电荷Q，使电容的电压发生了跃变。,冲激电流源相当开路，电容通过电阻R放电，电路相当是零输入响应。,所以
12、，电容电压为,电容电压随时间变化的曲线为,这个冲激电压会在t = 0瞬间在电感中建立电流，即,可见，在极短的时间内，冲激电压在电感中就注入了磁链 ，使电感的电流发生了跃变。,冲激电压源相当短路，电感通过电阻R放电，电路相当是零输入响应。,所以，电感的电流为,电感电流的变化曲线为,式中,【解法一】 将图a用戴维宁定理等效为图b所示的电路。,求电流的初始值,由,得,电感电压为,或者,【解法二】利用KVL定律求冲激响应。在图b中，根据KVL得,【解法三】利用阶跃响应求冲激响应。,因为,则有,即冲激响应也等于阶跃响应的导数。,设图b中的电压源,，其电感电流的阶跃响应为,电感电流的阶跃响应为,则冲激响应
13、为，,可见，利用冲激响应与阶跃响应的导数关系求冲激响 应比较方便。,它们随时间变化曲线如图所示。从曲线上可以看出,，,二阶电路就是指用二阶微分方程描述的电路。二阶电路一般含有两个储能元件。二阶电路的分析方法就是列出电路的二阶微分方程，求其解。这里只介绍二阶电路的零输入响应。,图为RLC串联电路，设,根据KVL可得,整理得,特征方程和特征根为,方程根在三种情况下的电路响应分析：,为不相等的负实数，其方程的通解为,式中的积分常数由电路的初始条件求解，即由,确定。,即,联立求解上两式，即可求出,将其代入以上方程的解，得,放电电流为,其中，,电感电压为,共轭复数根为,其中，,根据复数的运算公式，得复数的模为,幅角为,所以,将,代入式,得,由初始条件得,所以,所以,式中，,可见，它们不是振荡放电，而是和非振荡放电过程相似，此过程是非振荡放电和振荡放电的分界线，因此称为临界非振荡放电。,第9章 结 束,
