《高等数学 理工科用 第２版 教学课件 ppt 作者 方晓华 6-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 理工科用 第２版 教学课件 ppt 作者 方晓华 6-3（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.3 二阶常系数线性微分方程,6.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程的解法,6.3.3 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法,6.3.1 二阶常系数线性微分方程的解的结构,第 6 章 常微分方程,概念的引入,解,受力分析,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,串联电路的振荡方程,的方程叫做二阶常系数线性微分方程,二阶常系数线性齐次微分方程,二阶常系数线性非齐次微分方程,6.3.1 线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,例如,线性无关,线性相关,特别地:,例如,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,6.3.2 二阶常系数齐次微方的解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故
2、有,特征方程,特征根,二阶常系数齐次线性方程的标准形式, 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为, 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为, 有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,课堂小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),练 习 题,练习题答案,对应齐次方程:
3、,通解结构:,常见类型:,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,6.3.3 二阶常系数非齐次微方的解法,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例1,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例2,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例3,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）,注意,解
4、,对应齐方通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例4,课堂小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.,练 习 题,练习题答案,本节的学习目的与要求,1掌握二阶常系数线性齐次微分方程的概念； 2掌握二阶常系数线性非齐次微分方程的概念； 3掌握利用特征方程及特征根求解二阶常系数线性齐次微分方程； 4理解二阶常系数线性微分方程的解的结构； 5掌握f(x)=Pn(x)的二阶常系数线性非齐次微分方程的解法； 6掌握f(x)=aex的二阶常系数线性非齐次微分方程的解法； 7. 掌握f(x)=acosx+bsinx的二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 。,本节的重点与难点,重点: 1利用特征方程及特征根求解二阶常系数线性齐次微分方程; 2掌握f(x)=Pn(x)的二阶常系数线性非齐次微分方程的解法; 3. 掌握二阶常系数线性非齐次微分方程的特解公式 。 难点: 1 牢记二阶常系数线性齐次微分方程的通解公式; 2 二阶常系数线性微分方程的解的结构; 3 正确求解二阶常系数线性非齐次微分方程。,
