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1、,第三篇 动力学,动力学,引 言,一.研究对象,研究物体的机械运动与作用力之间的关系,2.质点系 由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。,1.质点 具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。,刚体 是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。,二.力学模型,动力学,自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。,三.动力学分类,质点动力学 质点系动力学,质点动力学是质点系动力学的基础。,四.动力学的基本问题 大体上可分为两类： 第一类：已知物体
2、的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。,综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。,第8章 动量定理,理论力学,81 动量与冲量 82 动量定理 83 质心运动定理,第8章 动量定理,动力学,实际问题： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非 常困难。 2 、大量的问题中，不需要了解每一个质 点的运 动,仅需要研究质点系整体的运 动情况。,动力学普遍定理概述,对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。,对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个 微分方程， 联立求解即可。,从本章起, 将要讲述解答
3、动力学问题的其它方法, 而首先要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。,动力学,它们以简明的数学形式， 表明两种量 一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。,本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式质心运动定理。,8-1 动量与冲量,一、动量 在日常生活和工程实践中可看出，质点的速度和质量的乘积表征了质点机械运动的强弱
4、. 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。 1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 方向与v 相同。单位是kgm/s。,2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。,式中n为质点数，mi为第i个质点的质量，vi为质点速度矢量。,如i质点的矢径为ri ，其速度为 ，代入上式，因mi不变，则有：,令 为质点系总质量，与重心坐标类似，定义质点系质量中心（质心）,上式表明：质点系的动量等于质心速度与全部质量的乘积。将上式向直角坐标轴投影，可得质点系动量的投影形式:,例曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都是匀质杆, 质量各为
5、m , 滑块B的质量也为m。求当 = 45时系统的动量。,滑块B：,解: 曲柄OA：,连杆AB：,P为速度瞬心，,由几何关系不难得,如力F是常矢量：,而力F在时间t内的冲量为矢量积分：,二力的冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。,元冲量为,如力F 是变矢量（包括大小和方向的变化）：在微小时间间隔 内，力F所产生的冲量称为元冲量。,冲量在直角坐标轴上投影形式为：,设作用于质点上有n 个力F1, F2, Fn，其合力为FR，则时间间隔t内力所产生的冲量为:
6、,即：合力所产生的冲量等于每一个分力所产生冲量的矢量和。,8-2 动量定理,1质点的动量定理,上式是质点动量定理的微分形式，即质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力，或质点动量的增量等于作用在质点上的元冲量。,上式是质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。,对上式积分，时间由0到t，速度由v0变为v，得,2质点系的动量定理,设质点系有n个质点，由质点动量定理，对质点系内任一质点 i，,质点系的内力与外力 外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主
7、矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：,对整个质点系，有n 个方程，相加得,因质点系动量增量为：,上式是质点系动量定理的微分形式，表明质点系动量的增量等于作用在质点系的外力元冲量的矢量和；也表明质点系动量对时间的导数等于作用于该质点系外力的矢量和。,或,上式可变为,上式为质点系动量定理的积分形式，表明在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力的冲量矢量和。,对上式积分，得,或,另外，从上述定理可看出，质点系的内力不能改变 质点系的动量，但可以可以引起系统内各质点动量的传递。,如果质点系受到外力之主矢等于零，质点系的动量将保持不变，即,动量定理是矢量式，
8、在应用时应采用投影式，在直角坐标系的投影式分别为：,3质点系动量守恒定律,同样，如果质点系受到外力之主矢在某一坐标轴上的投影等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影也保持不变，即,以上结论称为质点系动量守恒定律。,例2 质量为m1的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m2的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。已知系统初始静止。,受力分析，,则小三角块,小三角块相对大三角块速度为 ，,由水平方向动量守恒及初始静止 ；则,运动分析：设经过时间后，流体ab运动到位置a1b1，则,例3 流体流过弯管时， 在截面a和b处的平均流速分别为 求流体对弯管产生的动压力(附
9、加动压力)。 设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。,解：,取截面a与b之间的流体作为研究的质点系。,受力分析如图示。,由质点系动量定理，得,计算 时，常采用投影形式,即,静反力 ，动反力,与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力,质点系在力作用下其运动状态跟跟质点系质量分布状态有关，前面已定义了质心的位置，即,8-3 质心运动定理,1. 质量中心,质心位置反映出质点系质量分布的一种特征，在动力学中该概念具有重要地位，计算中常用直角坐标下的投影式，即,2. 质心运动定理,由于质点系动量等于质点系质量与质心速度乘积，则动量定理的微分形式可写成,对质量不变质点系，
10、该式改写为,上式表明质点系质量与质心加速度乘积等于质点系外力矢量和，该规律称为质心运动定理； 它同质点动力学基本方程 相似，可以把质点系质心运动看作一个质点的运动，此质点集中了质点系的质量和外力。,3. 质心运动守恒定律,从质心运动定理知，如果作用于质点系外力主矢为零，则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置不变。如果作用于质点系的所有外力在某个轴上投影的代数和恒为零，则质心速度在该轴上投影不变；若开始速度为零，则质心在该轴坐标不变。该结论称为质心运动守恒定律。,只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。,用质心运动定理可以解释工程实际中的一
11、些现象： 空中飞行的弹丸如不受空气阻力，其质心将沿抛物线轨道运动。假设弹丸在空中爆炸，爆炸力是内力，只能使爆炸后各碎片的运动重新分配。各碎片可以脱离原轨道四散飞开，但所有碎片所组成的系统的质心仍将继续沿爆炸前弹丸质心的抛物线轨道运动，直到有一弹片碰到其他物体为止。工程上常用的定向爆破的施工方法也是利用质心运动定理预先估算碎石的抛射距离。 再如，汽车之所以能够行进，是依靠驱动轮与地面之间向前的摩擦力。否则，车轮只能在原地空转，因为发动机中的燃气压力属于内力，它并不能直接产生质心加速度而使汽车前进。冰雪天气，由于路面湿滑，常常在汽车的车轮上缠上防滑链，就是为了增加驱动轮与地面间的摩擦力。刹车时，制
12、动装置与车轮之间的摩擦力是内力，它并不能改变质心的运动状态而使汽车停止前进，但能阻止车轮相对于车身的转动。如果没有车轮与地面之间的摩擦力，即使制动装置使车轮停止转动，车辆仍然要向前滑行，不能减速。,解: 取整个电动机作为质点系研究， 分析受力， 受力图如图示 运动分析：定子质心加速度a1=0， 转子质心O2的加速度a2=e2， 方向指向O1。,例4 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心O2 到O1 的距离为e 。 求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。,根据质心运动定理，有,可
13、见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。,a1=0，,a2=e2,解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。,例5 浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为 P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为q1=60, 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角q2 =30时船的位移。,受力分析如图示， ，且初始 时系统静止，所以系统质心的位置坐标 xC保持不变。,船的位移x，杆的位移,重物的位移,计算结果为负值，表明 船的位移水平向左。,例7 如图所示，均质杆OA，长 ,重为 ，绕O 轴在铅垂面内转动。杆与水平线成 角时，其角速度和角加速度分别为 和 ，求该瞬时轴O 的约束反力。,解:取杆OA为研究对象，受力如（b）图所示。取坐标系Oxy，杆OA质心加速度为：,方向如图（b）所示。则：,由质心运动定理得：,解得：,本题约束反力也可表示为切向力和法向反力，读者可自己进行求解。,第8章结束,
