《高等数学上册 教学课件 ppt 作者 蒋国强第1章 D1_8函数的连续性和间断点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学上册 教学课件 ppt 作者 蒋国强第1章 D1_8函数的连续性和间断点（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、四、 函数的间断点及其分类,一、 函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,三、 初等函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 连续函数的运算性质,一、 函数连续的概念,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,设函数,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 设函数,，讨论,在,处的连续性。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,在点x=0处连续,且,例2. 设函数,，讨论,处的连续性。,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,在点 处不连续,由例题可见 , 函数,在点,(1),在点,即,(2) 极限,(3),连续必须具备下列条件:,存在 ;,有定
2、义 ,存在 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称,在,或称它为该区间上的连续函数 .,在闭区间,上的连续函数的集合记作,上连续 ,则称,且在 a 点右连续，,在 b 点左连续，,在闭区间,上连续。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,在,上连续 .,有理整函数（多项式函数）,又如, 有理分式函数,在其定义域内连续.,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对自变量的增量,有函数的增量,函数,在点,连续有下列等价命题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数,在点,连续有两种形式的定义：,用于判断一个具体函数在一个已知点处的连续性,用于证明函数在任意点处的连续性；,或用于
3、函数连,续的理论分析,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2. 连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,二、连续函数的运算性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3. 由连续函数构造的复合函数
4、也是连续函数.,在,上连续 单调 递增,反函数,在,上也连续单调递增.,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三 . 初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内都连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,在,四、 函数的间断点及其分类,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域
5、内有定义 ,则,这样的点,下列情形之一时, 函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例4. 求下列函数的间断点,时无定义，,且,时无定义，,且,不存在，,时无定义，,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,是分段点,是分段点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为第一类可去间断点 .,为第一类跳跃间断点 .,为第二类无穷间断点 .,为第二类振荡间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点,例6 . 设,提示:,为连续函数,求 a，b .,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,及类型。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P41 1( 2，3 )；2（2，3）；,4（3，4，5）；5,第九节 目录 上页 下页 返回 结束,
