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3.3 曲线的凹凸与拐点,3.3.1 曲线的凹凸,3.3.2 曲线的拐点,第 3 章 导数的应用,一、曲线的凹凸,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,曲线弧位于任一点切线的下方,曲线弧位于任一点的切线上方,定义,曲线凹凸的判定：,定理1,例1,解,注意到,二、曲线的拐点,1.定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2.拐点的求法,判定曲线的凹凸与拐点的一般方法为：,确定函数的定义域 求其二阶导数； (3)求出满足二阶导数为零的所有点； (4) 以（2）中找出的点为界，把函数的定义域分成若干个部分区间，然后考察二阶导数在各部分区间的符号，从而判定曲线的拐点。,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法2:,例3,解,注意:,例4,解,小结：,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定.,拐点的求法1, 2.,本节的学习目的与要求,1 理解曲线凹凸性判定定理的结论 2 理解拐点的定义及判定方法 3 掌握利用定理正确求出简单的多项式函数的凹凸区间和拐点。,本节的重点与难点,重点 1 判定曲线在某区间上的凹凸性； 2 求曲线凹凸区间和拐点的方法和步骤。 难点 1. 正确理解曲线的凹凸性判定定理； 2曲线凹凸区间和拐点的求解 。,
