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1、高等数学(经济类) (第二版),与机械工业出版社版配套,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第六章 多元函数微积分学,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一元函数微积分学,多元函数微积分学,多元函数微分学,多元函数积分学,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第六章,6.4,全微分,6.4.1 全微分的定义,6.4.2 全微分在近似计算中的应用,一、全微分的定义,可表示成,称为函数,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微.,如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D
2、的内点( x , y ),其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,在点 (x, y) 的全微分, 记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1) 函数可微,函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微,由微分定义 :,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,定理6-3,(必要条件),若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数,同样可证,证: 由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,机动 目录 上
3、页 下页 返回 结束,注意: 定理 的逆定理不成立 .,反例: 函数,易知,但,即: 偏导数存在函数 不一定可微 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理6-4 (充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以函数,在点,可微.,注意到, 故有,推广:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如, 三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,例,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算函数,解:,例 计算函数,的全微分.,解:,在点 (2,1)
4、 处的全微分.,全微分在近似计算中的应用,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(可用于近似计算),(可用于近似计算),机动 目录 上页 下页 返回 结束,半径由 20cm 增大,解: 已知,即受压后圆柱体体积减少了,例 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm ,则,高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量.,求此圆柱体,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例计算,的近似值.,则,取,则,解: 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 微分定义:,2. 重要关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 微分应用, 近似计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
