《高等数学 理工科用 第２版 教学课件 ppt 作者 方晓华 10-习题课》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 理工科用 第２版 教学课件 ppt 作者 方晓华 10-习题课（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 10 章 习题课,一、主要内容小结,二、典型习题分析,三、模 拟 题,行列式,一、主要内容小结,线性方程组的求解,行列式的有关概念,矩 阵,行列式性质,行列式的运算与应用,矩阵的有关概念,矩阵的运算与 矩阵的初等变换,逆矩阵概念与计算,齐次线形方程组求解,非齐次线形方程组求解,一般线形方程组解的讨论,行 列 式,行列式的有关概念,行列式的有关概念,行列式的有关概念,1、 二阶行列式与三阶行列式,行列式的有关概念,左端称为二阶行列式，右端称为二阶行列式的展开式；横排称为行，竖排称为列，,称为第i 行第列j 的行列式的元素。,(1)二阶行列式定义: 用 个数组成记号,2、 三阶行列式定义,用
2、个数组成的记号,称为三阶行列式，右端称为三阶行列式的展开式，,称 为行列式的元素；i 表示横排,称为行;j 表示竖排,称为列。,(对角线展开法),3、 余子式代数余子式 把行列式 D 中划去,所在的行和列的所有元素得到的n-1阶行列式称为,的余子式记为 。若在 的余子式 上 ， 则称为 的代数余子式，记为 ， 即 。,4、 n阶行列式定义,用 个元素组成的,称为行列式第 行第 列的元素；横排称为行，竖排称为列。在主对角线上的元素 称为主对角元。,行列式可记为:,上式称为行列式 D 按第一行展开的展开式。,（高于三阶的行列式的计算可利用展开式，降阶直到三阶或两阶行列式计算。）,性质1 行列式D与
3、它的转置行列式值相等.既,性质2 互换行列式的任意两行(列)，行列式仅改变符号。,性质3 如果行列式中有两行(列)对应元素相同，此行列 式的值为零。,性质4 将行列式某一行(列)的每个元素同乘以k，等于 以数k乘该行列式。,行列式的性质,推论1 如果行列式某行(列)的所有元素有公因子时, 可把公因子提到行列式的外面。,推论2 如果行列式中有一行(列)的所有元素为零 则此行列式的值为零。,推论3 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例， 则此行列式的值为零。,性质5 如果行列式中某一行(列)的所有元素都是二项 式，则此行列式可以分成两个行列式之和。,性质6 以数k乘行列式的某行(列)所有元素，然
4、后加到 另一行的对应元素上，则行列式的值不变。,注意:性质6是简化行列式计算的主要方法，目的是,（1）把行列式某行（或列）的大部分元素化为零 （只保留一个）。,（2）把行列式化为上（下）三角行列式。,约定：,（1） rank 代表行， column代表列；,（2） : 第i行加上第j行的 k倍；,：第i列加上第j列的 k倍；,：第i列与第j列互换。,性质7 行列式等于它任一行元素与它对应的代数 余子式的乘积之和。,性质8 行列式任一行(列)的元素与另一行对应元素 的代数余子式的乘积之和等于零。,1、行列式的运算： 法一：利用定义降阶； 法二: 反复利用性质6或4，对矩阵作初等变换， 化为上三角
5、行列式； 法三: 反复利用性质6或4，使某行（或列）只保 留一个元素不为零，其他均为零，按此行 （或列）展开。 法四: 特殊情况下，化为特殊的行列式（如两行 相等或成比例）。,行列式的运算与应用,2、行列式的应用 定理（克莱姆法则） 设含有n个未知数n个方程的线性方程组为：,如果上述线性方程组的系数行式 ，,那么它仅有唯一解：,（ j = 1,2,n ）,矩 阵,矩阵的有关概念,矩阵的运算与矩阵的初等变换,逆矩阵的概念与计算,定义1 由 mn 个数aij(i=1,2, ,m;j=1,2, ,n), 排成 m 行 n 列的数表，称为一个mn 矩阵.记作,矩阵的有关概念,1、矩阵的定义,在 mn
6、矩阵中，从上至下依次称为第1行 至第m 行，从左至右依次称为第 1 列至第 n 列.aij 称为第 i 行第 j 列元素. 矩阵一般用大写黑体字母 A,B,C, 表示.一个 mn 矩阵可以简记为 Amn或 A = (aij)mn .,定义2 如果 A = (aij) 与 B = (bij) 都是 mn 矩阵，并且它们对应的元素相等，即 aij = bij (i =1,2, ,m; j =1,2, ,n), 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A = B.,2、矩阵相等定义,矩阵的运算与初等变换有关概念,1、矩阵线形运算,(1) 矩阵的加减法定义,定义1. 两个m 行 n 列矩阵 A = ai
7、j 和 B = bij,中对应元素相加得到的 m 行 n 列矩阵，称为矩阵,A 与 B 的和，记作 A+B , 即对应元素相加减,C = A+B = aijmn + bijmn = aij+ bijmn .,可以验证矩阵加减法满足下面的运算律：设A、B、 C、O 都是 mn 矩阵，则有 1. A + B = B+ A 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3. A + O = A 4. A-A = O,(2) 矩阵的加减法运算规律;,(3) 数乘 矩阵定义;,定义2. 以数 k 乘矩阵 A = (aij) 的每一个元素所得 到的矩阵，称为数 k 与矩阵 A 的积，记
8、作kA 即 k A= k (aij) = ( kaij),设A,B,C,O 都是mn矩阵，l, k 是数，则有 (1) 1 A = A (2) k(A+B) = kA+ kB (3) ( l+k)A = lA + kA (4) ( lk)A = k(lA) = l(kA),(4) 数乘矩阵运算规律,（1）定义: 矩阵 与矩阵 的乘积 ， C中的元素为:,2、矩阵与矩阵相乘,其中 i 表示行数;j 表示列数i=1,2m,j=1,2n,记为: C = A*B,（2） 矩阵与矩阵相乘的运算规律,给合律：,分配律：,方阵的幂：方阵,记,一般,其中 k,l,n 为常数,3、矩阵的转置运算,（1）转置定义
9、：把矩阵 的行与列互换，得到的 矩阵 叫做的转置矩阵，记作 。,（2）矩阵的转置具有下列性质：,4、矩阵的初等变换,（1）矩阵的初等行变换 (定义3 ),利用定义求矩阵的秩是很困难的。而利用矩阵的初等变换求矩阵的秩较为简单.下面定义矩阵的初等变换.,第 i 行与第 j 行互换:,数 k 乘以第 i 行:,第 i 行加上第 j 行的 k 倍:,（2）定理 矩阵A经过初等变换为矩阵B，它们的秩不变,（3）k阶子式(定义2),在矩阵 中任取 k 行,k 列，位于这些行、列交叉位置上的元素所构成的 k 阶行列式称为矩阵的 k 阶子式。( k=min(m,n) ),定义3,矩阵 中的不为零的子式的最高阶
10、数 称为矩阵的秩，记为,注意：秩定义含有两层意思, 存在某个 阶子式不等于零（但并不要求 每个阶子 式不等于零）;, 凡高于 阶的子式均等于零。,（4）矩阵的秩定义,1、逆矩阵的概念,（1）逆矩阵的(定义1),设 A 是 n 阶方阵,如果存在一个n 阶方阵 B ,使得 AB = BA = E (E 或 I 表示单位矩阵),则称方阵 A 是可逆的,并称方阵B 为 A 的逆矩阵,记为 .即有:,逆矩阵的概念与计算,（2）逆矩阵存在的充要条件与计算（定理1）,若 n 阶方阵A的充分必要条件是行列式 （称A为非 奇异矩阵,否则称为奇异矩阵）且逆矩阵为：,并称 为矩阵 A 的伴随矩阵,它是由矩阵 A中各
11、元素的代数余子式转置构成。,（3）用初等变换求逆矩阵,（4） 逆矩阵的性质, 同阶方阵 可逆，则 可逆，且, 可逆矩阵A的转置是可逆矩阵.即有:,线性方程组的求解,线性齐次方程组的求解,线性非齐次方程组的求解,一般线性方程组解的讨论,思想方法：首先用矩阵表示方程组,通过对方程组 的增广矩阵的初等变换.(即类似用加减 消元法，使每个方程只保留一个未知数),1、 用消元法解齐次线性方程组,线性齐次方程组的求解,用(高斯)消元法求线性方程组,齐次线性方程组,(1),(n为未知数个数,m为方程的个数方程 ),方程组的增广矩阵,结论: 齐次线性方程组的系数矩阵秩 ，n为未知数的个数,（1）当 ，则方程组
12、只有零解；,（2）当 r n 时，则方程组有无数非零解；,2、 用消元法解非齐次线性方程组,非齐次线性方程组: AX = B 的解,当,(有唯一解即 ),(有无数解),当,(无解),n为未知数的个数,3、方程组解的讨论,二、典型习题分析,1、已知,（1） 求：设,，求,（2） 求：设,，求,解：（1）,解：（2）,2、设,求：,解：,=,左乘等式AB = AC两边，有,3、已知AB = AC 而方阵A 的行列式,，证明B = C。, A 可逆，用,等式右边,所以等式 B = C成立。,证明：,等式左边,再用,右乘等式AB =B A两边， 有,左乘等式,4、已知AB = BA 而方阵A 的行列式
13、,，证明,证明：, A 可逆，用,两边，有,所以等式,成立。,5、解矩阵方程,解：设,矩阵方程为,A与B均可逆。解为,所以解为,三、模 拟 题,(一)填空:,2.,1.,3.,3.,4.,5.,6.设A、B为两个已知的同阶方阵，且E-B可逆， 则方程A+BX=X的解X=_. 7.线性方程组AX=B的增广矩阵,化为阶梯矩阵后为,则当,方程组AX=B有解，且有_解。,8.,(二)单项选择,设A、B 为两个n阶方阵，则_成立。 A.,B.,C.,D.,2. 设A是可逆方阵，且A+AB=E，则,A. E+B B. 1+B C. B D.,3. 设A是n阶可逆方阵，k是不为零的常数，则,A.,B.,C.
14、,D.,4线性方程组AX=B的增广矩阵,则当,线性方程组有无穷组解。 A. 1 B. 4 C. 2 D. 1/2,5,则AB=_.,A.,C.,D.,5. 矩阵,B.,（三）计算,1行列式,，求D.,2已知,3,4求解,5求解,6就a、b的取值，讨论线性方程组解的情况。,7矩阵方程AX=B,其中,用逆矩阵的方法求X.,模拟试题解答 (一) 填空 144 2.,3.m=t,n=s,7.d = -1,(二) 选择题 1B 2A 3B 4D 5A,(三) 计算题,1解：,2解：,3解：,4解：,一般解为,5解：,6解：,讨论： 当a=3且b,2.当a=3且b=1时，方程有无穷多组解； 3.当a,3时
15、，方程有唯一组解。,1时，方程无解；,7先求,本章的目的与要求,1了解行列式的定义和性质，会利用行列式的性质计算简单的n阶行列式； 2掌握二、三阶行列式的计算； 3理解矩阵的概念； 4掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律； 5理解逆矩阵的概念； 6掌握矩阵的初等变换；,7掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法； 8理解矩阵秩的概念，并掌握求秩的方法； 9掌握线性方程组有解的充分必要条件及解的结构； 10掌握线性方程的解法_高斯消元法、克莱姆法则、逆矩阵解线性方程组的方法。,本章的目的与要求,本章的重点与难点,1矩阵的乘法运算。 2逆矩阵及其求法。 3矩阵的初等变换。 4求秩的方法。 5线性方程组解的存在性、解的结构、解法,
