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1、习题解答 （等价关系）,习题1：如果关系R和S是自反的,对称的和可传递的,证明RS也是自反、对称和可传递的。,证明 设R和S是X上的自反关系。 1）对任意xX, 有R和S, 所以RS, 即RS在X上是自反的。,2）对任意RS, 有R且S, 因为R和S是对称的, 故必有R且S。即RS, 所以RS在X上是对称的。,3）对任意 RS, RS 则有R且S 和R且S 因为R和S是传递的, 故R,S, 即RS, 所以RS在X上是传递的。,习题2：设R是集合X上的一个自反关系,求证：R是对称和传递的,当且仅当 和在R之中,并有R。,证明 设R是集合X上的一个自反关系,如果R是X上对称和传递的,则当任意a,b
2、,cX, 若有R且R 则 R且R 故得 R,反之,由R,R,必有R, 则对任意a,bX, 若R， 因R是集合X上的一个自反关系，有R, 则得到R, 故R是对称的。,若R且R, 则RR,所以 R,即R是可传递的。,例题3：设 A1,A2,AK是集合A的一个划分,我们定义A上的一个二元关系R,使R 当且仅当 a和b在这个划分的同一块中。证明R是自反、对称和传递的。,证明 设对任意aA,则必存在Ai,使aAi ,因a 与a必可看作在同一块中,故有R。即R是自反的。,设a,bA,若有R,则a 与b必在同一块中,故b 与a亦在同一块中,R。即R是对称的。,设a,b,cA,若有RR,则必i, 使得aAi bAi ,且必 j,使bAj cAj,这样i = j。 因为若i j ,则bAiAj。故AiAj,这与Ai, Aj是A的划分块矛盾。由此得a,b,c均属同一分块Ai,因此R,即R是传递的。,例题4： 设R是集合A上的一个自反,对称和传递的关系,若A1,A2,AK是集合A的子集的集合,当i j 时,Ai Aj,使得a和b在同一个子集中,
