《高等数学 经管类专业试用 第2版 教学课件 ppt 作者 刘立德hdt 9-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 经管类专业试用 第2版 教学课件 ppt 作者 刘立德hdt 9-5（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.5 线性方程组,9.5.1 线性方程组的矩阵表示 9.5.2 一般线性方程组解的讨论 9.5.3 齐次线性方程组解的讨论 作业,9.5 线性方程组,9.5.1 线性方程组的矩阵表示,我们先考虑线性方程组的一般形式,（9-6）,其中系数,，常数项,都是已知数，,是未知数（也称元）.,当,不全为零时，方程组（9-6）称为非齐次线性方程组；当,全为零时，即,（9-7）,方程组（9-7）称为齐次线性方程组.,9.5 线性方程组,令,根据矩阵的乘法，方程组（9-6）可以表示为,（9-8）,称（9-8）为线性方程组的矩阵形式.其中矩阵,称为方程组（9-6）的系数矩阵，,称为未知矩阵，,称为常数项矩阵.
2、,方程组（9-6）的系数与常数项组成的矩阵,称为方程组（9-6）的增广矩阵.,9.5 线性方程组,例1 试将线性方程组,用矩阵形式表示出来，并写出其增广矩阵.,解 因为该方程组的系数矩阵,，未知矩阵,，常数,项矩阵,所以该方程组的矩阵形式为,其增广矩阵为,，,9.5.2 一般线性方程组解的讨论,9.5 线性方程组,解的判定,定理1 线性方程组（9-6）有解的充分必要条件是它的系数矩阵,的秩等于,它的增广矩阵,的秩，即,.,定理 2 设线性方程组（9-6）满足,（1）若,，则方程组（9-6）有无穷多解；,（2）若,，则方程组（9-6）有唯一解.,例2 讨论线性方程组,是否有解.,解 因为,9.5
3、 线性方程组,显然，,，二者不等，由定理1知，该方程组无解.,例3 讨论线性方程组,是否有解.,解 因为,显然，,（未知数的个数），由定理2知该方程组有解，且有无穷多个解.,9.5 线性方程组,例4 问,为何值时，方程组,无解？有唯一解？有无穷多解？,解 由,可知,9.5 线性方程组,因此，当,而,时，,，方程组无解；,当,时，,（未知量个数），方程组有唯一解；,当,且,时，,，方程组有无穷多解.,2. 解的求法,（1）高斯消元法:先看一个例子，并通过该例子说明如何用消元法来解线性方程组.,例5 解线性方程组,9.5 线性方程组,表9-2 方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程对照表,9.5 线
4、性方程组,表9-2 方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程对照表,由此可得方程组的解为,.,由上表可以看出，用消元法解线性方程组，其实质是对方程组的增广矩阵施以行初等变换， 使它变为一个行简化阶梯形矩阵.所以用消元法解线性方程组的步骤为：,9.5 线性方程组,(1) 写出方程组的增广矩阵,；,(2) 对,施以若干次行初等变换化成行简化阶梯形矩阵；,(3) 写出方程组的相应解.,例6 用高斯消元法解线性方程组,解 对线性方程组的增广矩阵,施以行初等变换，将其化为行简化阶梯形矩阵,9.5 线性方程组,因为,（未知数的个数），所以方程组有无穷多个解.它的同解方程组为,其中,可取任意实数，称为自由未知量
5、.若令,还可以表示为,这里,为任意常数.,，则方程组的通解,9.5 线性方程组,例7 当,取何值时，方程组,有解，并求出它的解.,解 对线性方程组的增广矩阵,施以行初等变换，将其化为行简化阶梯形矩阵,9.5 线性方程组,所以，当,时，,，方程组无解；当,时，,方程组有无穷多解.这时，对应的方程组为,解之可得原方程组的通解为,其中,为自由未知量，令,，则方程组的解为,这里,为任意常数.,9.5 线性方程组,(2)逆矩阵求解法,高斯消元法适用于解任意的线性方程组.而当方程组中未知量的个数,与方,程个数,相等且系数行列式不为零时，可用克莱姆法则来求解.除此之外，还可用逆矩阵法来求解.,此时方程组的系
6、数矩阵,是方阵，且,存在，其矩阵方程为,，用,程两边，即得方程组解的矩阵表示,.,例8 用逆矩阵法解线性方程组,左乘该矩阵方,解 将线性方程组化为矩阵形式,因系数行列式,，故系数矩阵可逆.,9.5 线性方程组,因为,9.5 线性方程组,所以,故,即方程组有唯一解,9.5 线性方程组,9.5.3 齐次线性方程组解的讨论,定理3 齐次线性方程组(9-7)有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小于它的未知量个数.,推论1 方程个数与未知量个数相等的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式,推论2 方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有非零解.,例9 求解齐次线性方程组,解 由于齐次
7、线性方程组是一般线性方程组的特殊情况，所以高斯消元法对,它仍然适用.,因为,等于零.,9.5 线性方程组,显然,（未知量个数），于是方程组有无穷多解.这时，对应的方程组为,解之可得原方程组的通解为,9.5 线性方程组,其中,为自由未知量，令,，则方程组的解为,这里,为任意常数.,9.5 线性方程组,例10,为何值时，线性方程组,有非零解.,解 由定理3推论1知，该方程组有非零解的充要条件是其系数行列式,.,而,令,，有,或,或,，即当,或,或,时，,原方程组有非零解,作业,1判断下列线性方程组是否有解；若有解，有多少解,9.5 线性方程组,（1）,（2）,（3）,（4）,2用高斯消元法求解下列线性方程组,（1）,（2）,（3）,（4）,3. 用逆矩阵法求解下列线性方程组,（2）,（1）,
