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1、普通高等教育规划教材,编 著 肖明葵 程光均 张祥东 吴云芳 邹昭文 课件制作 王建宁,理 论 力 学,9.1 点的合成运动的基本概念 9.2 点的速度合成定理 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度,第9章 点的合成运动,前两章分别研究了点和刚体相对于某一个固定参考系的运动，本章研究动点相对于不同参考系的运动之间的关系，即研究点的合成运动。,9.1 点合成运动的基本概念,1.静坐标系和动坐标系,描述任何物体的运动，都是相对于某一参考系而言的。同一物体相对于不同的参考系所得到的运动描述是不相同的。,9.1 点合成运动的基本概念,例如
2、平直公路上行驶的汽车，坐在车上的人看见车轮上的一点M在以车轮轴为圆心作圆周运动；而对于地面上的人来说，所看到的M点的运动轨迹是一条旋轮线，如图9.1所示。又如液压泵旋转时，液体沿着液压泵的叶片运动。在瞬时t某液体分子在液压泵叶片OA的M处，在瞬时t+ t时刻，叶片转到OA位置，液体分子由M点运动到了 M 点。,图 9.1,9.1 点合成运动的基本概念,如图9.2所示。在固结于液压泵固定轴上且随着叶片一起转动的坐标系0xy上的观察者来看，液体分子M沿液压泵叶片由M1点运动到M点，是在沿叶片表面 作直线运动；而在地面的观察者来看，该液体分子是由M点沿曲线 运动到M点的。,图 9.2,9.1 点合成
3、运动的基本概念,从以上两个例子可以看出，动点相对于不同的参考坐标系可以表现出完全不同的运动规律。如果选定的参考系是固结在假定不动的参考物体上，这样的坐标系称为静(定)参考（坐标）系，一般工程实际中常将固结在地面的参考系作为静参考系。而将其他固结在相对于静参考坐标系有运动的参考物体上的坐标系称为动参考（坐标）系。,9.1 点合成运动的基本概念,如在图9.1所示例子中，固结于地面的坐标系为静坐标系，而固定于车厢上的坐标系是动参考系；在图9.2所示例子中，固结于液压泵固定轴上，并且不随液压泵叶片运动的坐标系0xy为静坐标系，而同样固结于液压泵固定轴上，但是要随叶片的转动一起转动的坐标系0xy则为动坐
4、标系。,9.1 点合成运动的基本概念,2.绝对运动、相对运动和牵连运动,动点相对于静参考系的运动称为绝对运动。将动点在绝对运动中的运动轨迹、运动速度和加速度分别称为动点的绝对轨迹、绝对速度（以 表示）和绝对加速度（以 表示）。如在图9.1所示例子中，M点的绝对运动轨迹是一条旋轮线轨迹；在图9.2所示例子中，液体分子的绝对运动轨迹是由M点运动到M点所沿的曲线 。,9.1 点合成运动的基本概念,动点相对于动坐标系的运动称为相对运动。而将动点在相对运动中的运动轨迹、运动速度和加速度分别称为动点的相对轨迹、相对速度 和相对加速度 。如在图9.1所示例子中，M点的相对运动轨迹是以车轮轴为圆心，M点到车轮
5、轴的距离为半径的一圆周曲线；在图9.2所示例子中，液体分子的相对运动轨迹是沿叶片表面的一条直线 。,9.1 点合成运动的基本概念,动坐标系相对于静坐标系的运动称为牵连运动。如图9.2所示例子中，如果固结在液压泵固定轴上随叶片一起转动的坐标系0xy不动，则在动坐标系0xy和在静坐标系0xy下所观察到的液体分子的运动是相同的。但只要动坐标系0xy 随叶片一起转动，液体分子相对于动坐标系0xy 和静坐标系0xy的运动便不相同，其原因就在于动坐标系的运动必然影响液体分子的运动，或者说，动坐标系的运动使得液体分子的运动受到“牵连”，因此，固结在液压泵固定轴上的动坐标系0xy随叶片一起绕轴的转动称为牵连运
6、动。,9.1 点合成运动的基本概念,由于动坐标系一般都是固结在某个运动的参考物体上的，所以动坐标系的运动就是与之固结的参考物体的运动，因而牵连运动就可以是平动、定轴转动或者其他的更为复杂的运动。参考体作定轴转动和其他更复杂的运动时，其上各个点的运动轨迹各不相同，在某瞬时，各个点的速度、加速度也是不相同的，因此可定义在某瞬时，动坐标系上与动点相重合的点(牵连点)相对于静坐标系运动的轨迹、位移、速度和加速度，分别称为该瞬时动点的牵连轨迹、牵连位移、牵连速度和牵连加速度。,9.1 点合成运动的基本概念,3.运动的合成与分解,从以上讨论可知，动点的绝对运动可以看作是由相对运动和牵连运动复合而成，因此称
7、为合成运动。在图9.1所示例子中，动点M的绝对运动可以看成是动点相对于平动车厢的圆周运动，以及车厢的平行直线平动的合成运动。反之，也可以把一个运动分解为两个分运动，即相对运动和牵连运动，这又称为运动的分解。,9.1 点合成运动的基本概念,应用合成运动的概念，可以解决两方面的问题。一方面是在某些实际工程问题中，需要研究点和刚体相对于不同参考系的运动。另一方面可以将一个复杂的实际运动，分解为两种简单运动的组合，这种处理运动学问题的方法，常常可以使一些复杂的问题简化。 在对运动进行分解或合成时，应该明确一个动点，两种坐标系和三种运动，即，确定动点之后，分别建立选好静坐标系和动坐标系，然后分清楚什么是
8、绝对运动、相对运动和牵连运动。,9.1 点合成运动的基本概念,例如：工厂中用车刀车机器零件的简化示意图如图9.3所示，当研究车刀刀尖的运动时，若建立静坐标系xyz于地面上，并在转动的机器零件上建立动坐标系xyz，相对于静坐标系，车刀刀尖沿机器零件的轴线作直线运动，是绝对运动；动坐标系xyz随同机器零件作转动，是牵连运动；车刀的刀尖在机器零件上刻出螺纹的运动是相对运动。,图 9.3,9.1 点合成运动的基本概念,又如在建筑工地上常见的塔式起重机的简化示意图如图9.4所示，起重机的吊臂绕塔身中轴z转动，一小车沿吊臂运动，当研究小车的运动运动时，若将静坐标系固结在地面上，动坐标系固结在塔身上，并随起
9、重机的吊臂一起绕塔身中轴z转动，小车的相对运动是相对于吊臂的直线平动，牵连运动是吊臂绕塔身中轴z的转动，小车的绝对运动可由这两种运动合成。,图 9.4,9.1 点合成运动的基本概念,本章应用运动合成与分解的方法来研究绝对运动，相对运动，牵连运动三者之间的关系，特别是三者速度和加速度之间的关系。,9.1 点合成运动的基本概念,9.2 点的速度合成定理,设有一动点M在某一作任意运动的刚体上沿曲线AB运动，选取固结在地面的静坐标系Oxyz，并将动参考系固结在运动刚体上如图9.5所示。,图 9.5,设瞬时t，动点位于M点，且与刚体上的M点相重合。经过时间间隔后动点运动到M点处，在时间间隔内，曲线AB运
10、动到AB处，刚体上在瞬时t与动点相重合的M点也被带到处。在时间内，动点M相对于静坐标系运动的轨迹曲线是 ，即 是动点的绝对轨迹；而该动点相对于固结于刚体上的动参考系的运动轨迹为 ，即动点的相对轨迹；矢量 称为动点的绝对位移，以ra表示； 称为动点的相对位移，以rr表示；而 为t瞬时动坐标系上与动点相重合点（牵连点）的位移，称为动点的牵连位移，以r e表示。,9.2 点的速度合成定理,从图9.5中可见动点的绝对位移是牵连位移和相对位移的矢量和，即,(9.2)式中,在M点的切线方向。,9.2 点的速度合成定理,是在瞬时t动参考系上和动点相重合的点（牵连点）的速度，即动点在瞬时t的牵连速度，用 表示
11、，其方向沿该牵连点运动轨迹曲线 在点M 的切线方向。,表示，其,在M 点的切线方向。于是式(9.2)可写为,9.2 点的速度合成定理,即在任一瞬时动点的绝对速度等于它的牵连速度和相对速度的矢量和，这称为速度合成定理。式(9.3)是速度合成定理的表达式，该式是一个矢量表达式，由矢量加法可知，并从图9.3中也可看出，如通过M点，画出牵连速度和相对速度矢量，并以此为邻边构成平行四边形，则绝对速度一定是位于以牵连速度和相对速度为邻边的平行四边形的对角线上，绝对速度的大小等于该平行四边形的对角线的长度。,9.2 点的速度合成定理,应注意到在推导速度合成定理时，并未限制动参考系的运动形式，因此速度合成定理
12、适用于牵连运动为任何形式的运动。 需要指出的是，由于动点相对于动坐标系运动，所以，在不同的瞬时，动点与动坐标系上的重合点是不相同的，因此，动点的牵连点具有瞬时性，相应地，动点的牵连速度和牵连加速度也具有瞬时性。正确理解和掌握牵连运动的概念是掌握合成运动的关键。,9.2 点的速度合成定理,例9.1 汽车以速度沿直路行驶(图9.6)，雨滴M以速度铅垂下落。求雨滴相对于汽车的速度。,图 9.6,9.2 点的速度合成定理,解 取雨滴M 为动点，动参考系固结在车厢上，定参考系固结在地面上。则雨滴相对于地面铅垂下落的运动是绝对运动，其绝对速度 ；雨滴相对于车厢的运动为相对运动，其相对速度 的大小与方向均未
13、知；由于车厢作水平直线平动，故牵连速度 。 和 均为已知，且两者互相垂直，故可按点的速度合成定理作出速度平行四边形关系图，如图图9.6所示，求出 。由图示的几何关系得,(a),9.2 点的速度合成定理,的方向可由与 铅垂线的夹角决定,9.2 点的速度合成定理,例9.2 半径为R的半圆形凸轮以速度 沿水平支承面运动，从而顶起可沿铅垂滑槽滑动的直杆AB，如图9.7所示。求当凸轮外缘上C点与其圆心O之连线的倾角为 时，杆AB的速度。,图 9.7,9.2 点的速度合成定理,解 分析系统的运动可知，本题是属于机构传动的问题。由于凸轮的平动，带动顶杆AB上下平动。本题要求杆AB的速度，杆AB的运动是平动，
14、根据平动刚体的运动特征，在某一瞬时，AB杆上各点的速度相同，因此，只要求出AB杆上某一点的速度，即求得了AB杆运动的速度。由于AB杆上与凸轮相接触之点A在运动过程中始终与凸轮表面接触，在AB杆上的相对位置是不变的，故取AB杆上的A点为动点，动坐标系固结在凸轮上，静坐标系固结在地面上。,9.2 点的速度合成定理,A点的绝对运动为铅垂直线运动，绝对速度 铅垂向上，大小待求。又A点的相对运动为沿凸轮外缘的圆周运动，所以相对速度 垂直于半径OC并沿凸轮切线倾斜向上，其大小未知。牵连运动为凸轮的直线平动，根据平动刚体的运动特征，在某瞬时，凸轮上各点的速度相同，可知A点的牵连速度就等于 。,9.2 点的速
15、度合成定理,根据速度合成定理，作出动点A的速度矢量平行四边形如图9.7(a)所示。由图中几何关系可得,9.2 点的速度合成定理,当然，合理选择动点和动坐标系的方案可以从多角度去考虑。例如本题中，若选择凸轮的圆心点O为动点，而以AB杆上的A点为坐标原点，把动坐标系固结在AB杆上。那么，求AB杆的速度实际上就成为求动点O的牵连速度了。,9.2 点的速度合成定理,运动的分解仍然简单。O点的绝对运动沿水平直线，牵连运动为铅直平动，又在运动过程中，圆心O与固结在AB杆上的动坐标系的坐标原点(杆上A点)的距离始终不变， ,显然动点O相对于固结在AB杆上的动坐标系的相对轨迹是一圆周曲线。于是，可作出O点的速度合成矢量图如图9.7b所示，由速度矢量图可求得,9.2 点的速度合成定理,例9.3 牛头刨床的摇杆机构如图9.8所示，曲柄OA以匀角速转动，并通过套筒A带动摇杆O1D摆动，而摇杆又通过套筒B使刨枕沿水平支承面往复运动。已知。试求当OA水平时摇杆O1D 的角速度和刨枕BC 的速度。,图 9.8,9.2 点的速度合成定理,解 先求摇杆O1D的角速度。摇杆O1D绕O1作定轴转动，若能确定摇杆上任一点的速度，即可由该点的速度除以该点到转轴O1
