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1、第4章 根轨迹分析法,自动控制原理（第2版） 孟华 主编,机械工业出版社,自动控制原理,2,4.1 概述 4.2 根轨迹的概念 4.3 根轨迹的绘制 4.4 广义根轨迹的绘制 4.5 控制系统的根轨迹分析 4.6 利用MATLAB绘制根轨迹图,第4章 根轨迹分析法,自动控制原理,3,4.1 概述,自动控制系统的稳定性完全由闭环特征方程的根（闭环极点）决定。而系统瞬态响应的基本性能则取决于闭环传递函数的极点和零点的分布。 计算的复杂性限制了时域分析法在三阶以上控制系统中的应用 。 1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了一种求解特征方程根的简单方法 -根轨迹法 。,自动控制原理,4,4.2
2、 根轨迹的概念,系统的开环传递函数,系统闭环传递函数,闭环特征方程,闭环特征根,（1）解析法绘制根轨迹,令K从0到变化，则闭环特征根在复 平面上描绘出若干曲线（根轨迹）。,自动控制原理,5,（2）从根轨迹图分析闭环系统各种性能 分析稳定性：在00.5时，系统是欠阻尼的。 若已知K=1，则闭环极点为-1j，参数=0.707，=0.414，系统的瞬态响应指标超调量%= 4.3%，调节时间ts3秒。 当K继续增大时，其超调量%将增大，而调节时间基本不变。 分析稳态性能：系统是型的，阶跃函数作用下的稳态误差为零。,4.2 根轨迹的概念（续）,自动控制原理,6,（3）根轨迹方程 闭环特征方程： 1+G(
3、s)H(s) = 0 或 G(s)H(s) = -1 通常系统开环传递函数G(s)H(s)等于系统各环节传递函数 之积，即 或 幅值方程： ， 为根轨迹增益 相角方程：,根轨迹方程,4.2 根轨迹的概念（续）,自动控制原理,7,4.3 根轨迹的绘制,4.3.1 绘制根轨迹的基本规则,（1）根轨迹的方向、起点和终点 根据根轨迹定义，根轨迹起始于K*=0，终止于K *。 由幅值条件得,当K*=0时， s-pj (j=1，2，n)为系统的开环极点； 当K*时，s-zi (i=1，2，m)为系统的开环零点。 结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环 零点数目m小于开环极点数目n，则有n-m
4、条根轨迹终止于无 穷远处。,自动控制原理,8,根轨迹的分支数、连续性和对称性,（2）根轨迹的分支数、连续性和对称性 每个闭环特征根的变化轨迹都是整个根轨迹的一个分支，因此根轨迹的分支数与闭环特征方程的根的数目相同。由,知，特征根的数目等于m和n中的较大者。,K*的无限小增量与s平面上的长度|s+pj|及|s+zi|的无限小增量相对应，即复变量s在n条根轨迹上均有一个无限小的位移。当K*从零到无穷大连续变化时，根轨迹在s平面上一定是连续的。 特征根可以是实数根或复数根，而复数根又必然是成对出现的共轭复数，所以这些根必然对称于实轴。 结论：根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，即开环零点数m和开环极点
5、数n中的较大者；根轨迹是连续的，且以实轴为对称的曲线。,自动控制原理,9,根轨迹在实轴上的分布、渐近线,（3）实轴上根轨迹的分布 若点s0右边零、极点个数之和为奇 数，则s0点所在线段是根轨迹一部分； 若点s0右边零、极点个数之和为偶 数，则s0点所在的线段不是根轨迹。 结论：实轴上属于根轨迹的部分，其右边开环零、极点的个 数之和为奇数。,（4）根轨迹的渐近线 结论：如果系统的有限开环零点数m少于其开环极点数n，则当根迹增益K*时，趋向无穷远处根轨迹的渐近线共有n-m条。这些渐近线 与实轴上的交点坐标为 与实轴正方向的夹角为,自动控制原理,10,根轨迹在实轴上的分布及渐近线举例,设系统开环传递
6、数为,根据开环传递函数，得知开环极点数n=3，开环零点数m=0，首先将开环极点0，-1和-2标注在s平面上。由规则： 1）根轨迹有三条分支，分别起始于0，-1和-2，且这三 条根轨迹都将趋向无穷远处； 2）实轴上根轨迹分布在-以及-2-之间； 3）根轨迹的渐近线共有n -m = 3条，与实轴的交点和夹 角计算公式如下：,根轨迹在实轴上的分布、渐近线,自动控制原理,11,根轨迹的分离、会合点、与虚轴的交点,（5）根轨迹的分离点、会合点 分离点：根轨迹分支在实轴上某点相遇又向复平面运动 会合点：根轨迹分支从复平面运动到实轴上某点 结论：根轨迹分离点或会合点的坐标，可通过求解方程得到,（6）根轨迹与
7、虚轴的交点 与虚轴的交点可利用下面两种方法之一 ： 方法一：用s= 代入特征方程求解 方法二：根据系统临界稳定的条件，利用劳斯判据法求解 结论：根轨迹与虚轴的交点坐标及临界根迹增益，可以通过 用s= 代入系统闭环特征方程求取，也可用劳斯判据列表的 方法确定。,或,自动控制原理,12,求根轨迹的分离点、与虚轴的交点举例,在极点0和极点-1之间的根轨迹上一定有分离点存在，令dG(s)H(s)/ds0，整理后求得s1= -0.42（在根轨迹上，是分离点），s2 = -1.58 （不在根轨迹上，舍），所对应K*由幅值条件确定： 用劳斯判据法与虚轴交点：,设系统开环传递数为,自动控制原理,13,(7)根
8、轨迹的出射角和入射角,出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与正实 轴之间的夹角 入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与正实 轴之间的夹角 结论：开环复数极、零点的出射角与入射角由下面公式 计算,出射角： 入射角：,自动控制原理,14,闭环极点之和、之积,特征方程为： 闭环极点即特征方程的根，若为-s j ，则有 ，所以,（8）闭环极点之和与闭环极点之积,n个闭环特征根之积为： 若系统有在原点的开环极点，则,结论：若满足(n-m) 2，闭环极点之和等于开环极点之和。且有开环极点位于原点时，闭环极点之积与根轨迹增益成正比。,若系统满足n-m 2，有：,自动控制原理,15,4.3.2 根
9、轨迹绘制举例,例1 已知系统开环传递函数为 ，绘制 根轨迹。 解 1）起点在p1= -1，p2= -2处，终点在z1= -3及无穷远处。 2）根轨迹有两条分支，且对称于实轴。 3）实轴上的根轨迹分布在-1-2之间和-3-之间。 4）因n=2，m=1， 渐近线为整个负实轴，沿实轴趋于-。 5）由 ，可解出 s1 = -1.586(分离点),K*= 0.172; s2 = -4.414(会合点),K*= 5.818 绘出根轨迹如图,自动控制原理,16,证明：根轨迹图是一个圆 证 如果用s=a +jb代入特征方程1+G(s)H(s) = 0中，并经整理 可得到以下方程式： 显然，这是个圆的方程式，其
10、圆心的坐标为(-3，0)，半 径为 。推广到一般形式： z1大于p1和p2（即开环零点位于两开环极点之左），则 系统根轨迹在复平面上为一个圆，其圆心在-z，半径为：,例1（续）,自动控制原理,17,开环传递函数为 ，求该系统 的闭环根轨迹。,例2,解 根据根轨迹绘制规则，计算步骤为 1）有四条根轨迹，分别起始于0， -3，-1j；一条根轨 迹终止于-2，另三条趋于无穷远处。 2）实轴上的根轨迹分布在0-2之间及-3-之间。 3）渐近线有3条数，渐近线的倾角为60，-180， 渐近线的交点为 。 4）由于实轴上为零点与极点间的根轨迹，故没有分离点 及会合点。,自动控制原理,18,5 ）求根轨迹与
11、虚轴的交点。令s= 代入特征方程 ，解 后得 ，此时K *=7。 6）求复数极点的出射角。 极点-p2的出射角为-22.6 极点-p3的出射角为+22.6 完整根轨迹如图：,例2（续）,自动控制原理,19,系统的开环传递函数为 ，绘制系统的根轨迹如图：,例3,自动控制原理,20,例4,系统的开环传递函数为 ， 绘制系统的根轨迹如图。 注意：绘制虚轴附近的根轨迹时，可以忽略远离虚轴的零、极点，进行近似处理，简化计算过程。,自动控制原理,21,4.4 广义根轨迹的绘制,以非开环根迹增益为可变参数的根归机轨迹， 或非负反馈系统的根轨迹统称为广义根轨迹。,4.4.1 参变量根轨迹的绘制 以非开环根迹增
12、益为可变参数绘制的根轨迹，称作参变 量根轨迹，也称为参数根轨迹。 参变量根轨迹可以用来分析系统中的各种参数。 规则：与常规根轨迹绘制方法完全相同。 关键点：将控制系统的特征方程进行等效变换，求出等效开 环传递函数。,自动控制原理,22,设系统开环传递函数为 ，系统闭环特 征方程为 ， 用不含待分析参数的各项除方 程两端，得 式中的 、 都是复变量s的多项式， 为待分析的 参数，与特征方程 比较，得等效开环传递函数,4.4.1 参变量根轨迹的绘制,自动控制原理,23,绘制以Kt为参变量的根轨迹,系统开环传递函数为 特征方程为 以特征方程中不含Kt 的项除方程式各项，得 所以，等效开环传递函数为,
13、自动控制原理,24,1）n =2，m =1，根轨迹有两条分支，分别起始于极点 -1+j3和-1-j3，终止于零点及无穷远点。 2）实轴上的根轨迹分布在0-之间。 3）求出会合点s1= -3.12（ s2= +3.12舍去），对应幅值为 所以 Kt=0.43。 4）复数极点-1+j3的出射角,绘制以Kt为参变量的根轨迹（续）,自动控制原理,25,续上例： 系统等效开环传递函数 等效开环零点在原点处，是固定的。 等效开环极点由K 确定，如K 分别取1，2.5，5及8.5时，虚部分别为j， j2，j3和j4。 根轨迹图绘制如下：,绘制以Kt为参变量的根轨迹簇,自动控制原理,26,4.4.2 正反馈系
14、统根轨迹的绘制,对于正反馈系统，其闭环特征方程为 ，正反馈系统的根轨迹方程为 幅值条件 幅角条件,思考：与负反馈根轨迹绘制有何不同？ 在正反馈系统根轨迹的绘制规则中，凡是与幅角条件有 关的规则都要作相应的修改。 1）实轴上根轨迹的确定：右边开环零、极点的个数为偶数。 2）根轨迹的渐近线：在实轴上交点坐标和夹角为 3）根轨迹的出射角和入射角,自动控制原理,27,设负反馈控制系统的开环传递函数为,将其变换为 ，相应的特征方程变为 与正反馈系统根轨迹方程的形式相同。 1）实轴上根轨迹：0,-2、1, 2）渐近线与正实轴重合 3）分离点 s=2.8 4）出射角 5）与虚轴的交点为 K*=1.3。,正反
15、馈系统根轨迹绘制举例,自动控制原理,28,4.5 控制系统的根轨迹分析,系统开环零、极点的分布 根轨迹图 分析系统的稳定性，闭环极点分布位置 系统性能随之发生变化的规律,自动控制原理,29,4.5.1 性能指标在s平面上的表示,当0 1时，闭环特征根为 （1）相对百分比超调量 是阻尼比 的函 数，且当 越小，百分比超调量%越大。 （2）调节时间只取决于特征根的实部 。当 wn增加时，调 节时间相应变短；反之，调节时间相应就长。如果对 调节时间有限制的话，就要使特征根与虚轴保持一定 的距离。 （3）振荡频率,自动控制原理,30,s平面上的三种规律 等 线 等时线 等频率线 在通过原点射线上的特征根，这些特征根都对应于百分比超调量相同的过程； 在垂直于实轴直线上的特征根，它们对应有基本相同的调节时间； 在平行于实轴直线上的特征根，它们对应振荡频率相等的过程。,
