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1、3.1回归分析的基本思想及其初步应用,高二数学 选修2-3,问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是,y = x2,问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 有一个确定性的关系？,例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得 到如下所示的一组数据：,复习 变量之间的两种关系,10 20 30 40 50,500 450 400 350 300,施化肥量,水稻产量,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。,1、定义：,1）：相关关系是一种不确定性关系；,注,现实生活中存在着大量的相关关系。 如：人的身高与
2、年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等,探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？,10 20 30 40 50,500 450 400 350 300,发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。,探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？,散点图,施化肥量,水稻产量,探究,对于一组具有线性相关关系的数据,我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：,称为样本点的中心。,1、所求直线方程叫做回归直线方程； 相应的直线叫做回归直线。,2、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。,1、回归直线方程,2、求回归直线
3、方程的步骤：,（3）代入公式,例1、观察两相关量得如下数据:,求两变量间的回归方程.,解：列表：,所求回归直线方程为,假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上。这些点散布在回归直线附近。,表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,（一）我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。,3、残差分析：,残差图的制作及作用 1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 2、若模型选择的正确，
4、残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域； 3、对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,（一）我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。,3、残差分析：,（二）,例2 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：,求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,列出残差表为,0.994,因而，拟合效果较好。,0,0.3,-0.4,-0.1,0.2,4.6,2.6,-0.4,-2.4,-4.4,例3 关于x与y有如下
5、数据： 有如下的两个线性模型： （1） ；（2） 试比较哪一个拟合效果更好。,7、一般地，建立回归模型的基本步骤为：,什么是回归分析？ （内容）,从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x
6、和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,例3、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：,（1）y与x是否具有线性相关关系； （2）如果具有线性相关关系，求回归直线方程； （3）预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？,如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？,在数学3中，我们学习了用相关系数r来衡量两个变量 之间线性相关关系的方法。,相关系数r,正相关；负相关。 通常，r0.75或r-0.75认为两个变量有很强的相关性,相关关系的测度 （相关系数取值及其意义）,r,(1)列出下表,并计算,故，钢水含碳量与冶炼时间具有很强线性相关性,所以回归直线的方程为 =1.267x-30.51,(3)当x=160时, 1.267.160-30.51=172,(2)设所求的回归方程为,
