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1、1,经济学中的数学模型,史宁中,东北师范大学,2,学科的分类,形态分类 科学 研究概念、概念与概念的关系、概念与现实之间的关系 判断正确与否的准则是事实 命题判断，无论是谁、无论何时、无论何地 艺术 研究作品、作品与作品的关系、作品与感觉之间的关系 判断正确与否的准则是价值观 作品判断，因人而变、因时而变、因地而变 哲学 研究范畴、范畴与范畴的关系、范畴与终极之间的关系 伦理学：人的行为；逻辑学：人的思维 政治学：社会组织；美学：形态与感官，是艺术的哲学 形而上学：存在的本体论，精神与物质，经验与认识 宗教：是一种情怀，是一种信仰,3,学科的分类,思维分类 形象思维 基于观察、观察后的联想、跨
2、越联想的想象 逻辑思维 基于推理：对命题的判断、若干命题判断之间的思维过程 命题：可供判断的陈述句 有逻辑的推理：命题的内涵之间具有传递性 凡人都有死。苏格拉底是人。苏格拉底有死。 无逻辑的推理：命题的内涵之间不具有传递性 苹果是酸的。酸是一种味道。苹果是一种味道。 辩证思维 强调事物的两个方面：中国的阴阳 矛盾是对立的、是可以转化的、因而也是统一的 西方（黑格尔）重视：合二而一 东方（易经、老子）：一分为二、合二而一,4,学科的分类,学科分类 自然学科 科学 逻辑思维 + 形象思维 数学、物理、化学、地质、天文、生物、医学、信息 概念之间的关系是必然的 人文学科 艺术 形象思维 + 逻辑思维
3、 语言、文学、历史、音乐、美术、舞蹈、影视、传媒 社会学科 科学 + 艺术 辩证思维 + 逻辑思维 + 形象思维 政治、社会、伦理、经济、商学、管理、心理、教育 概念之间的关系是或然的,5,一、凯恩斯宏观经济模型 二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型 三、时间序列：经济增长与因果分析模型 四、限制优化：组合投资模型,6,一、凯恩斯宏观经济模型,凯恩斯（Keynes，18831946）强调政府对于市场的干预。 凯恩斯静态模型两个方程。第一个方程：收入 = 消费 + 投资 第二个方程：消费 = 基本 + 收入比例 其中 Y：国民收入；C：国民消费；I：国民投资；a0 为基本消费；a 为消费倾
4、向：a 1。通过计算可以得到 a 越接近 1，消费倾向越强，国民收入越高。,7,一、凯恩斯宏观经济模型,固定乘数、变化投资。如果固定系数：a0 = 10、乘数：a = 4/5。 当投资 I = 5时，收入Y = 75； 当投资 I = 10时，收入Y = 100。 投资增加5，收入增加 100 75 = 25。收入增长是投资增加的5倍。 固定投资、变化乘数。如果固定系数：a0 = 10、投资：I = 10。 当乘数a = 3/5时，收入Y = 50； 当乘数a = 4/5时，收入Y = 100。 乘数增加1/5，收入增加100 50 = 50，是投资的5倍。 通过消费刺激经济，促进收入。,8,
5、一、凯恩斯宏观经济模型,弗里德曼（Friedman，1912-2006，1979年诺贝尔经济学奖） 研究持久收入消费理论，在持久收入下 消费倾向 a =1； 并且有 a青年 a老年。 托宾（Tobin，1918-2002，1981年诺贝尔经济学奖） 在凯恩斯模型的基础上研究了货币的作用、以及货币价值的变化，引入了“实在财富”的概念，表示为 W，定义为 其中 K 为总资产，M 为货币总量，p为价格水平。凯恩斯第一个方程为,9,一、凯恩斯宏观经济模型,萨谬尔森（Samuelson，1915-2009，1970年 诺贝尔经济学奖） 用数理经济学的方法重写了经济学。 在凯恩斯模型中加入了时间因素，萨谬
6、尔森乘数-加速模型：,Yt，Ct 和 It 分别表示 t 时间收入、消费和投资；I0 表示政府支出。 强化了消费对投资的影响、进而对收入的影响。求解过程得到一个二阶非齐次差分方程，无实根时有阻尼震荡解，解释了经济周期。 在凯恩斯模型的基础上，学者们又考虑了时间、货币、持久收入， 但没有考虑长期消费：房子，汽车；提前消费：信用卡。,10,二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型,与时间有关的基本模型：现在 = F(过去) 。最简单形式：,当 b 为常数：动力系统；当 b 为随机变量：时间序列。 住房贷款：不计算复利，a=1。比如，考虑贷款规则：贷款本金80万元、年息为本金的 4%。每年还利息、
7、以及本金的5%。20年还清。 每年还款：利息 804% = 3.2，本金 805% = 4，合计 3.2+4 = 7.2。 一共还款： 7.220 = 144（万元）。 用 Ct 表示 t 年后还款金额，可以得到：,11,二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型,银行储蓄：计算复利，a1。比如，存款方法，本金 2 万元，年利息4%。如果用 Ct 表示第 t 年的银行存款累计金额，那么：,t = 1，；C0 = 2。这时 a=1+4%1，数量递增。得到一般项： t=30，C30 = 3.24 2 = 6.48。30年后存款累计金额。 人口模型 ：马尔萨斯（Malthus，17661834） 其
8、中 Nt 为 t 年人口数，r 为年人口增长率。中国平均增长率 r=6， 2003年人口 12.92 亿，2013年人口13.54亿，计算 N10 = 13.44亿。,12,二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型,动力系统 称使得 C = aC + b 成立的常值 C 为动力系统的平衡点。得到 投资额度。一个项目花费100万，在这个花费下回报120%，为稳定这个关系，起始投入应当多少？资金运转方程为： 再生产资金 = 收入 支出 平衡点为：a = -100/(1-1.2) = 500，起始投入500万元。容易验证，对于每一个年份 t，资金运转方程的解都是500万元。,13,二、动力系统：贷
9、款、存款、投资与退休金模型,养老金基金。退休后每年得到养老金 5 万元。如果缴纳时间是30年，那么，这个人（包括工作单位）每年应当缴纳多少？ 假设养老基金储存在银行，年利率为 4%。 用 Ct 表示享受 t 年后，这个人养老金剩余额度。 无限稳定情况。假设养老金是无限稳定的，养老金获取方程为 其中 t =1，。这个方程的稳定点为 C0 = -5/(1-1.04) = 125。因此，缴纳额度为125万元。假设每年缴纳金额一定：B万元，基金缴纳方程为 125 = a29B + a28B + + aB + B = (1+ a + + a29)B = (1-a30)/(1-a)B = 56B 其中 a
10、=1.04。解得 B = 2.23，即每年缴纳金额为2.23万元。,14,二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型,有限稳定情况。享用养老金有限的：20年。即 C21 = 0。由获取方程： 令 r =1/1.04 = 0.96，可以得到 C20 = r5， C19 = r25 + r5， C0 = 5(r + r2 + + r21) = 5r(1 - r21)/(1 - r) = 514.5 = 72.5 比无限稳定少：125 - 72.5= 52.5（万元） 每年缴纳金额：72.5/56 = 1.29（万元） 每年大约减少：2.23 - 1.29 = 0.94（万元） 缴纳时间增加五年、享
11、用时间增加五年，结果将会如何？,15,三、时间序列：经济增长与因果分析模型,如何利用历史数据估计系数 a 和 b。构建时间序列： 其中 t = 2，T； t 为随机变量，Et = 0， Vt = 2。系数的估计为 统计检验的理论与方法第五章，史宁中著，科学出版社，2008年,16,三、时间序列：经济增长与因果分析模型,图1. 19782002年中国对数GDP散点图,1980 1985 1990 1995 2000,17,三、时间序列：经济增长与因果分析模型,回顾时间序列： t 为随机变量，Et = 0。如果方差 Vt 不是常数的情况，比如ARCH模型 恩格尔（Engle，1942-，2003年度诺贝尔经济学奖）研究了这个问题。 两个变量，比如 x：国民生产总值，y：进出口， 格兰杰（Granger，1934-2009，2003年度诺贝尔经济学奖）研究因果关系： Y 不是 x 的原因。,18,三、时间序列：经济增长与因果分析模型,如何利用各省 GDP 、人均 GDP 、或者其他指标 划分中国经济区类别 分析经济增长原因 评估经济政策效益 评估国家投资效益 评估民生工程投资效益 合理利用一段时间（5年）数据，是问题的难点。,19,四、限制优化：组合投资模型,20,四、限制优化：组合投资模型,21,Thank you,
