信号与系统 课件 奥本海姆 第一章

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1、第1章 信号与系统,Signals and Systems,信号的描述 信号的自变量变换 基本信号 系统及其数学模型 系统的性质,本章的基本内容:,1.0 引言 ( Introduction ),讨论信号与系统的基本概念，建立其 相应的数学描述方法，以便利用这种数学描述及其表示方法，建立一套信号与系统的分析体系。,目的：,1.1 连续时间与离散时间信号 （Continuous-Time and Discrete-Time Signals）,一.信号的分类： 信号可以描述范围极其广泛的物理现象。信号可以分为确知信号与随机信号，也可以分为连续时间信号与离散时间信号。 确知信号可以表示成一个或几个自

2、变量的函数。作为信号分析的基础，本课程只研究确知信号。,1、确定信号与随机信号,按照信号的确定性划分，信号可以分为确定信号与随机信号。 若信号能够被表示为确定的时间函数，在定义域内的任意自变量都有确定的函数值，这种信号称之为确定信号，例如我们熟悉的正弦信号。 但是，传递信息的信号往往具有不可预知的不确定性，这种信号称之为随机信号。随机信号不能给出确切的函数表示，只能用统计规律来描述。,2、连续时间信号与离散时间信号,按照信号自变量取值的连续性划分，信号可以分为连续时间信号与离散时间信号。 如果信号的自变量是连续可变的，除若干个不连续点以外，任意自变量都对应确定的函数值，则此信号称为连续时间函数

3、。 如果信号的自变量是离散取值的，只在某些不连续的时间值上给出函数值，在其他时间没有定义，则此信号称为离散时间信号，有时称为离散时间序列。,连续时间信号的例子：,离散时间信号的例子：,连续时间信号在离散时刻点上的样本可以构成一个离散时间信号。,信号的描述：,离散时间信号,人口统计数据,连续时间信号,3、模拟信号与数字信号,按照信号自变量和幅值取值的连续性划分，信号可以分为模拟信号与数字信号。 连续时间信号与离散时间信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的，自变量和幅值都是连续的信号称之为模拟信号，自变量和幅值都是离散的信号称之为数字信号。与数字计算机相关的信号总是数字信号。,信号的能量与功率：,

4、连续时间信号在 区间的平均功率定义为：,连续时间信号在 区间的能量定义为：,4、能量信号与功率信号,离散时间信号在 区间的能量定义为,离散时间信号在 区间的平均功率为,在无限区间上也可以定义信号的总能量：,连续时间情况下:,离散时间情况下:,在无限区间内的平均功率可定义为：,1. 能量信号信号具有有限的总能量， 即：,三类重要信号（按照信号的可积性或可和性划分）：,2. 功率信号信号有无限的总能量，但平均功率 有限。即：,3. 信号的总能量和平均功率都是无限的。 即：,如果信号是周期信号，则,5、 周期信号与非周期信号：,或,连续时间周期信号,离散时间周期信号,（以T为周期） 或,（以N为周期

5、）或,如果信号是非周期的，且能量有限则称为能量信号。,这种信号也称为功率信号，通常用它的平均功率来表征。,6、一维信号与多维信号,按照信号自变量的维数划分，信号可以分为一维信号与多维信号。 语音信号可以表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号。黑白照片可以表示为亮度随空间位置变化的函数，这是二维信号。动态图像除了考虑空间位置，还要考虑时间变量，是三维函数。本书一般情况下只研究一维信号。,1.2 信号的基本运算 1.2.1 自变量变换 （Transformations of the Independent Variable),由于信号可视为自变量的函数，当自变量改变时，必然会使信号的特性相应地改

6、变。,当 时，信号向右平移,时，信号向左平移,当 时，信号向右平移,时，信号向左平移,1. 时移变换：Shift of Signals,2. 反转变换：Reflection of Signals,信号以 为轴呈镜像对称。,与连续时间的情况相同。,3. 尺度变换： Scaling,时, 是将 在时间上压缩a倍，,时, 是将 在时间上扩展1/a倍。,实例： 照片放大。,离散时间信号的尺度变换,离散时间信号尺度变换是指将离散时间样本序列减少或增加，分别称为抽取与内插零。 抽取是指离散时间变量n变换为Mn（M为正整数），由此xn变换成xMn ，又称M：1抽取。 xMn只保留原序列在M整数倍时刻的序列值

7、，其余序列值均被丢弃了。 内插零是指在原序列中每两个相邻的序列值之间插入M-1个零值，即xn变成x（M）n （为正整数），定义为,综合示例：这里有一种有条不紊的途径：据值先时移，再据值进行尺度变换，再做时间反转。,由,做法一：,做法二 ：,做法三 ：,先右移2/6 再压缩三倍,1.2.2相加与相乘,信号的相加与相乘也是经常遇到的两种运算。例如，在语音或图像中叠加背景就是信号相加的例子，而在通信中可以依靠信号相乘来实现调幅、混频和检波等功能。 两个信号的相加（乘）即为两个信号的时间函数相加（乘），反映在波形上则是将相同时刻所对应的函数值相加（乘）。图1-11(a)和图1-11(b)别是两信号相加

8、与相乘的例子。,1.2.3 微分与积分,对连续时间信号进行锐化与平滑处理时，常常用到信号的微分与积分运算。图(a)和(b)分别是连续时间信号微分与积分的例子。,由图(a)可见，信号经微分后突出了它的变化部分，没有变化的部分微分结果为0。若是图像信号，那么微分运算的结果就是突出图像的边缘轮廓。 由图(b)可见，信号积分的效果刚好与微分的效果相反，平滑了信号的变化部分，利用这一作用可消弱混入信号的毛刺（噪声）的影响。,1.2.4 差分与累加,离散时间信号的差分与累加分别对应于连续时间信号的微分与积分。图(a)和(b)分别是离散时间信号差分与累加的例子。,例1-1判断下列信号是否为能量信号、功率信号

9、,(1) (2) (3),解： (1) 是周期为 的周期信号，其能量与功率分别为 能量无限而功率有限，因此是功率信号。,（2） 是离散时间周期信号，其能量与功率分别为 能量无限而功率有限，因此是功率信号。,例1-2已知 波形如图所示，试画出 的波形。,解1：,解2：,1.3 复指数信号与正弦信号 （Exponential and Sinusoidal Signals ）,一. 连续时间复指数信号与正弦信号,其中 C, a 为复数,1. 实指数信号： C，a 为实数,呈单调指数上升。,呈单调指数下降。,是常数。,2. 周期性复指数信号与正弦信号:,，不失一般性取,实部与虚部都是正弦信号。,显然是

10、周期的，其基波周期为：,一般情况下,其基波周期为 , 基波频率为 ，当 时 通常称为直流信号。,对 而言，它在一个周期内的能量是 它的平均功率为：,3. 成谐波关系的复指数信号集:,当k取任何整数时，该信号集中的每个信号都是彼此独立的。只有该信号集中的所有信号才能构成一个完备的正交函数集。,该信号集中的每个信号都是周期的，它们的频率分别为 ，都是 的整数倍，因而称它们是成谐波关系的。,信号集中信号的基波频率为 ，基波周期为 ， 各次谐波的周期分别为 ，它们的公共周期 是 。,4. 一般复指数信号:,其中 C, a 为复数,令 则,该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的周期性复指数信号。它的实

11、部与虚部都是振幅呈实指数规律变化的正弦振荡。,当 时，是指数增长的正弦振荡。 时，是指数衰减的正弦振荡。 时，是等幅的正弦振荡。,当 时，呈单调指数增长 时，呈单调指数衰减 时，呈摆动指数衰减 时，呈摆动指数增长,二. 离散时间复指数信号与正弦信号,一般为复数,1. 实指数信号： 均为实数,2. 正弦信号：,其中 为实数。,离散时间正弦信号不一定是周期的，这是与连续时间正弦信号的重大区别。,离散时间信号的频率表示为 ，其量纲是弧度。,3. 一般复指数信号：,令,则,其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦序列。,当 时幅度呈指数增长， 时幅度呈指数衰减。,离散时间复指数序列 不一定是周期性的

12、，要具有周期性，必须具备一定条件。,即,于是有,三.离散时间复指数序列的周期性,设 则有：,表明只有在 与 的比值是一个有理数时， 才具有周期性。,对 ，当 时，对应的信号振荡频率越来越高不会发生逆转。,而对 ， 当 时，只要是 变化 的范围，如 ，则由于 ，总是会有 。这表明：当 变化时，并非所有的 都是互相独立的。离散时间信号的有效频率范围只有 区间。其中 ， 处都对应最低频率； 或 处都对应最高频率。,在满足周期性要求的情况下，总能找到互为质数的两个正整数 m, N 使得：,（m与N无公因子）,此时 即为该信号的周期, 也称为基波周期,因此该信号的基波频率为 。,离散时间周期性复指数信号

13、也可以构成一个成谐波关系的信号集。,该信号集中的每一个信号都是以N为周期的, N是它们的基波周期。,特别值得指出的是：该信号集中的所有信号并不是全部独立的。,这表明：该信号集中只有N个信号是独立的。即当k 取相连的N个整数时所对应的各个谐波才是彼此独立的。因此，由N个独立的谐波分量就能构成一个完备的正交函数集。,显然有：,这是与连续时间的情况有重大区别的。,信号 和 的比较,不同，信号不同 对任何 信号都是周期的 基波频率 基波周期：T0,频差 的整数倍时，信号相同 仅当 时， 信号是周期的 基波频率 基波周期：N,一. 离散时间单位脉冲与单位阶跃 1. 单位脉冲序列,:,1.4 单位冲激与单

14、位阶跃,（The Unit Impulse and Unit Step Functions）,定义,1,0,2. 单位阶跃序列 :,，,与 之间的关系：,一次差分,具有提取信号 中某一点的样值的作用。,单位阶跃,，,，,2. 单位冲激,定义： 定义的不严密性，由于 在 不连续，因而在该处不可导。,二. 连续时间单位阶跃与单位冲激,定义：,定义 如图所示:,可认为,显然当 时,表示为,矩形面积称为冲激强度。,显然有：,三、冲激函数的性质 （1）与单位阶跃信号的关系,单位冲激函数 的积分等于单位阶跃信号 ，即 反之，连续时间单位冲激函数 是单位阶跃信号 的一次微分，即,类似地，离散时间中单位冲激函

15、数求和得到单位阶跃信号，是的一阶差分,（2）单位冲激信号具有单位面积,（3）单位冲激信号的抽样性质,任何信号与函数相乘，所产生的仍是一个冲激函数，只是冲激的位置与强度发生变化。,进一步可得出,更一般地,也具有提取连续时间信号样本的作用。,单位冲激函数具有抽样出信号中任意函数值的特性。 由于单位冲激函数具有抽样特性，因而许多信号可以表示为单位冲激信号的线性组合，从而引出信号与系统分析的新方法。,（4）单位冲激信号是偶函数,（5）尺度变换性质,按照阶跃函数的定义，任何函数与阶跃函数相乘后将切除函数的一部分，称为阶跃函数的切除特性，即 利用阶跃函数的切除特性，可以方便地归纳一些分段函数。,四、阶跃函数的性质,用阶跃表示矩形脉冲,0 t,0 t0 t,五、其它奇异函数,奇异函数不仅仅包括连续时间冲激函数与阶跃函数，它们的若干次积分与若干次导数也属于奇异函数。例如，对单位阶跃函数进行积分，可得,