《线性代数修订版 董晓波4.3 相似矩阵与方阵可对角化的条件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数修订版 董晓波4.3 相似矩阵与方阵可对角化的条件（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,相似矩阵与 方阵可对角化的条件, 4.3,4.3.1 相似矩阵的概念,定义,设 都是 阶方阵，若存在一个 阶,可逆矩阵 使,则称矩阵 与 相似或称 是 的相似矩阵，,称 为由 到 的相似变换矩阵或过渡矩阵，,运算 称为对 进行相似变换.,相似则等价，即相似关系是一种等价关系.,例 设,并判断 与它们是否相似.,解,由定义， 与 相似， 与 也相似.,由此可知，与 相似的矩阵不是唯一的，也未必,是对角阵，但可以适当选取 使 成为对角阵.,相似矩阵的性质,（1）反身性： 与 相似.,（3）传递性：若 与 相似， 与 相似，则,与 相似.,（2）对称性：若 与 相似，则 与 相似.,（4）若 与
2、相似，则,（5）若 与 相似，且 可逆，则 也可逆，且,与 相似.,（6）若 与 相似，则 与 相似， 的多项式,也相似.,则,其中,特别地，若 取对角矩阵,（7）若 与 相似，则 与 相似.,定理,相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同.,推论 若 阶方阵 与对角阵,相似，则 为 的 个特征值，且若,是方阵 的特征多项式，则有,证明,因为 与对角阵 相似，而 是,的 个特征值，由定理， 的 个特征值也应该是,同时，它们也是 的特征方程,的解，因此有,由相似的定义，存在可逆矩阵 使,4.3.2 方阵可对角化的充要条件,证明,可相似对角化.,若方阵 可以与一个对角阵相似，则称,定理,阶方阵 可
3、对角化的充要条件是 有,个线性无关的特征向量.,必要性,若方阵 可对角化，则存在可逆,矩阵 使对角阵 则,令,则 可写成,从而有,于是有,由于 可逆，知 线性无关，即,有 个线性无关的特征向量,必要性,设 有 个线性无关的特征向量,其对应的特征值分别为,即,取,则 可逆且,所以,表明 与对角矩 相似.,说明,推论,如果 阶矩阵 的 个特征值互不相同，,则 与对角阵相似，即 可相似对角化.,（1）当 可对角化时，使其与 相似的,可逆矩阵 的列向量 是对角阵上的对角元素,（特征值）的特征向量.,（2）如果 的特征方程有重根，此时不一定有,还是能对角化,对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，,
4、个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能,例 判断下列矩阵是否相似于对角矩阵？,解,若相似，则求出可逆矩阵 使 是对角阵.,（1）求特征值：,于对角矩阵. 若不然，如果 相似于对角阵 则,有可逆阵 使,就是单位阵，,从而,这显然是错误的，所以,不相似于对角阵.,（1）求特征值：,故 的特征值为,再求特征向量：,当 时，解方程组 由,得基础解系为,特征向量为,所以对应于 的全部,取一个特征向量,当 时，解方程组 由,所以对应于,的全部特征向量为,得基础解系为,（ 为不同时为零的实数）.,取两个特征向量,由 线性无关，知 与对角阵相似. 取,则 可逆，且有,矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,
