《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.5二次型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.5二次型（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.5 二次型及其标准形,首页 上页 下页 返回 结束,中有着广泛的应用.,二次型就是二次齐次多项式，,析几何中化二次曲线与二次曲面的方程为标准形式，,它在线性系统理论、概率统计和工程技术等诸多领域,例如，为了便于研究二次曲线,它的理论起源于解,首页 上页 下页 返回 结束,的几何性质，,（5-6）式的左边是一个二次齐次多项式，,（5-6）,学的观点看，,换化简一个二次齐次多项式，,把方程化为标准形,这类问题一般化，讨论n元二次齐次多项式化简问题.,我们可以选择适当的坐标旋转变换,从代数,化标准形的过程就是通过变量的线性变,使它只含有平方项.,把,首页 上页 下页 返回 结束,定义 5.9 含
2、有n 个变量 x1 , x2 , , xn 的二次齐次,函数,称为二次型.,当 为实数时，f 称为实二次型；,当 为复数时， f 称为复二次型.,（5-7）,下面给出二次型的矩阵表示:,首页 上页 下页 返回 结束,取,于是,则,首页 上页 下页 返回 结束,取,则,于是,则二次型可记作,（5-8）,首页 上页 下页 返回 结束,例如，二次型,的二次型.,用矩阵表示,二次型与对称阵之间存在一一对应的关系.,对称阵A叫做二次型 f 的矩阵，,f 也叫做对称阵A,对称阵A的秩就叫做二次型 f 的秩.,首页 上页 下页 返回 结束,对于二次型，我们讨论的主要问题是：,的线性变换,使二次型（5-7）只
3、含平方项，即,（5-9）,记 ，,寻求可逆,则上述可逆线性变换可记作,首页 上页 下页 返回 结束,这种只含平方项的二次型，,它的矩阵形式为,称为二次型的标准形，,首页 上页 下页 返回 结束,这是因为BT = ( CTAC )T,则 f = yTB y是一个变量为 y1 , y2 , , yn 的二次型，,f = xTA x,n 元二次型（5-8）经可逆线性变换 变成,二次型的秩不变.,= CTAT(CT)T,即B为对称矩阵，,又因,所以yTB y也是一个二次型.,B=C TAC，,质，,= (C y)TA(C y),= yT(C TAC ) y,且,= CTAC = B，,而C可逆，,从而
4、CT也可逆，,由矩阵秩的性,即知 R(A) = R(B).,首页 上页 下页 返回 结束,定义 5.10 设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，,就是要使,使 B=C TAC，,要使二次型 f 经可逆变换 变成标准形，,也就是要使C TAC 为对角阵.,f = xTA x = (C y)TA(C y) = yT(C TAC ) y,因此，我们的主要问题,就是：,对角阵.,则称矩阵A与B合同.,这,对于对称阵A，寻求可逆矩阵C，,使 C TAC 为,这个问题称为把对称阵A合同对角化.,首页 上页 下页 返回 结束,总有正交变换 x = Py，使 f 化为标准形,定理 5.10 任给二次型,由上节定理5.9知，,把此结论应用于二次型，即有,其中 是 f 的矩阵 的特征值.,任给对称阵A，总有正交阵 P，使,首页 上页 下页 返回 结束,例 5.13 求一个正交变换 x = Py，把二次型,化为标准形，并指出方程 f =1表示何种二次曲面.,解 二次型的矩阵为,按例5.12的结果，有正交阵,首页 上页 下页 返回 结束,把二次型 f 化成标准形,使,于是有正交变换,而方程 表示的二次曲面,为旋转单叶双曲面.,
