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1、第6章 回归分析,本章主要阐述回归分析的基本概念，并重点介绍一元线性回归和非线性回归的基本方法，给出回归方程的方差分析和显著性检验。从而使学生掌握回归分析方法的基本原理，学会从实际测量中寻求两个变量和多个变量之间的内在关系。,教学目标,回归分析的基本概念和主要内容 一元线性回归方程的求法 回归方程的方差分析和显著性检验 一元非线性回归方法,重点与难点,第一节 回归分析的基本概念,一、函数与相关,函数关系：可以用明确的函数关系式精确地表示 出来 相关关系：这些变量之间既存在着密切的关系， 又不能由一个（或几个）自变量的数 值精确地求出另一个因变量的数值， 而是要通过试验和调查研究，才能确 定它们
2、之间的关系。,第一节 回归分析的基本概念,二、回归分析思路,1、由数据确定变量之间的数学表达式回归方程或经 验公式； 2、 对回归方程的可信度进行统计检验； 3、 因素分析。,第二节 一元线性回归,一元线性回归：确定两个变量之间的线性关系，即 直线拟合问题。,一、回归方程的确定,例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：,散点图：,20,25,30,35,40,45,50,76,78,82,80,84,第二节 一元线性回归,从散点图可以看出：电阻与温度大致成线性关系。,设测量数据有如下结构形式：,式中， 分别表示其它随机因素对电阻值 影响的总和。,思路：要求电阻y与x的关系，即根据测量数据要求出
3、,和,的估计值。根据测量数据，可以得到 7个测量方程，结合前面所学，未知数有两个， 而方程个数大于未知数的个数，适合于用最小 二乘法求解。,第二节 一元线性回归,设得到的回归方程,残差方程为,根据最小二乘原理可求得回归系数b0和b。,对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令,第二节 一元线性回归,则误差方程的矩阵形式为,对照 ，设测得值 的精度相等，则有,将测得值分别代入上式，可计算得,第二节 一元线性回归,其中,二、回归方程的方差分析及显著性检验,第二节 一元线性回归,问题：这条回归直线是否符合y 与x之间的客 观规律？回归直线的预报精度如何？,对N个观测值与其算术平均值之差的平方 和进行分解；
4、从量值上区别对个观测值的影响因素； 用F检验法对所求回归方程进行显著性检 验。,方差分析法,第二节 一元线性回归,（一）回归方程的方差分析,1、引起变差的原因： A、自变量x取值的不同； B、其它因素（包括试验误差）的影响。,2、方差分析,总的离差平方和（即N个观测值之间的变差）,可以证明：,第二节 一元线性回归,S=U+Q,其中,U回归平方和，反映总变差中由于x和y的线性关 系而引起 y变化的部分。,Q残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残 余误差，即其它因素对y变差的影响。,第二节 一元线性回归,（二）回归方程显著性检验 F检验法,基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越 大，Q越
5、小，说明y与x的线性关系愈密切。,计算统计量F,对一元线性回归，应为,查F分布表，根据给定的显著性水平 和已知的 自由度1和N-2进行检验：,若 回归在0.01的水平上高度显著。,第二节 一元线性回归,回归在0.05的水平上显著。,回归在0.1的水平上显著。,回归不显著。,（三）残余方差与残余标准差,第二节 一元线性回归,残余方差：排除了x 对y的线性影响后，衡量y 随机波动的特征量。,残余标准差：,含义： 越小，回归直线的精度越高。,第二节 一元线性回归,（四）方差分析表,三、重复试验情况,1、重复试验的意义,“回归方程显著”：只表明因素x的一次项对y的影响 显著；难以确定影响y的是否还有其
6、它不可忽略的 因素？x和y是否线性? 不表明该方程拟合得很好。,为检验一个回归方程拟合的好坏，可通过重复试验，获得误差平方和 和失拟平方和 ，然后用 对 进行F检验。,第二节 一元线性回归,2、重复试验回归直线的求法,1）设N个试验点，每个试验点重复m次试验，则将 这m次试验取平均值，然后再按照前面的方法进 行拟合，见表65和表66。,2）方差分析,第二节 一元线性回归,3）方差检验,:判断一元回归方程拟合效果,:判断失拟平方和对试验误差的影响,:综合判断一元回归方程拟合效果,第二节 一元线性回归,1）分组法平均值法,将自变量按由小到大次序排列，分成个数相等或近于相 等的两个组（分组数等于未知
7、数个数），则可建立相应的两 组观测方程：,将两组观测方程分别相加，得,b和b0,2）图解法紧绳法,四、回归直线的简便求法,第三节 一元非线性回归,2、求解未知参数。可化曲线回归为直线回归， 用最小二乘法求解；可化曲线回归为多项式 回归。,1、确定函数类型并检验。,一、求解思路,二、回归曲线函数类型的选取和检验,1、直接判断法,2、作图观察法，与典型曲线比较，确定其属于何 种类型，然后检验。,第三节 一元非线性回归,3、直线检验法（适用于待求参数不多的情况）,a、预选回归曲线,b、,c、求出几对与x,y相对应的Z1,Z2值,d、以Z1,Z2为坐标作图，若为直线，则说明原 选定的曲线类型是合适的，否则重新考虑。,4、表差法（适用于多项式回归，含有常数项多于两 个的情况）,第三节 一元非线性回归,a、用试验数据画图；,b、确定定差 ，列出xi,yi各对应值；,c、根据x,y的读出值作出差值 ，看其是否与确 定方程式的标准相符，若一致，则说明原选定 的曲线类型是合适的。,三、化曲线回归为直线回归问题,用直线检验法或表差法检验的曲线回归方程都 可以通过变量代换转为直线回归方程，利用线性回 归分析方法可求得相应的参数估计值。,第三节 一元非线性回归,回归曲线方程的效果与精度：,残余平方和,残余标准差,相关指数,衡量回归曲线效果好坏 的指标,可以作为根据回归方程预报 y值的精度指标,
