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1、电 路 基 础,福建工程学院,陈佳新 陈炳煌 编,13(2),第13章 电路方程的矩阵形式,13.1 图的概念,13.2 关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵,13.3 节点电压方程的矩阵形式,13.5 割集电压方程的矩阵形式,13.4 回路电流方程的矩阵形式,13(3),(1) 对于含元件较少的电路，可以直接利用基尔霍夫定律及前面章节所介绍的支路法、回路法和节点法，直接手工建立所需的解题方程组来解题。,(3)求解矩阵形式表示的电路方程，可以归结为解矩阵相量的问题，可采用矩阵计算工具软件如Matlab软件等方便快捷地进行矩阵运算。,(2)解决复杂网络问题可以应用网络图论的方法对电路进行系统化分析，应用
2、矩阵方法系统地分析网络的图和建立电路方程，即建立矩阵形式的节点电压方程、割集电压方程和回路电流方程等。,13(4),13.1 网络图论的基本概念,电路图与拓扑图,实际电路图,对应的线图(有向图),（1）图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际电路的结构（支路与节点之间的连接关系）。,13(5),移去图中的支路，与它所联接的节点依然存在，因此允许有孤立节点存在。,如把节点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。,(2)子图,若图G1中所有支路和节点都是图G中的支路和节点，则称G1是G的子图。,13(6),从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路径。,(3)路径,
3、(4)连通图,图G的任意两节点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。,13(7),(5)回路,L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：(1)连通，(2)每个节点关联2条支路。,不是回路,回路,如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其他节点不出现重复，这条闭合路径就构成图G的一个回路,13(8),(6)树,树T所包含的支路称为树支；（a图中支路2、4、5） （b图中支路1、4、5） 图G中其余的支路称为连支； 树支数 = n1 (节点数减1） 连支数=支路数 树支数 = b n1 =（网孔数）,T是连通图的一个子图且满足下列条件：,连通 包含所有结点 不含闭合路径,
4、13(9),(7)基本回路(单连支回路),支路数树支数连支数 结点数1基本回路数,结点、支路和基本回路关系,基本回路具有独占的一条连支,结论,13(10),13.1.2 割集,连通图G中支路的集合，具有下述性质： 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。,割集：(1 9 6) (2 8 9) (3 6 8) (4 6 7) (5 7 8),(3 6 5 8 7) , (3 6 2 8)是割集吗？,问题,13(11),13.2 关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵,实际电路结构可用一个有向图来具体描述。把有向图各节点和支路编号，然后依次把各支路与相应连接点的连接信
5、息用数字形式记忆下来。根据这些信息可完整描述电路的联接关系，计算机可根据这些信息自动识别电路关系，并应用基尔霍夫定律建立相应的电路方程，进行相应的运算。,反映电路结构中支路与节点连接关系可用一个关联矩阵A来描述.,13.2.1 关联矩阵,13(12),ajk=1 支路 k 与节点 j 关联，电流流出节点；,ajk= -1 支路 k 与节点 j 关联，电流流入节点；,ajk =0 支路 k 与节点 j 无关。,用矩阵形式描述节点和支路的关联性质。n个节点b条支路的图用nb的矩阵描述：,13(13),1) 每一列中只包含二个非零元素1和1 2) 把所有行的元素按列相加，则得到全零的行，因此矩阵的行
6、 不是彼此独立的。,把 Aa 的任一行划去，剩下的矩阵称为降阶关联矩阵，记作A。,被划去的行对应的结点可以当作参考节点。,13(14),13(15),如图,乘积的每一行对应一个节点电流方程(KCL).,13(16),13(17),如图,13(18),13.2.2 回路矩阵,用回路电流法分析电路时，支路与回路之间的关系可以用一个回路矩阵 B 来描述。,回路矩阵 B :,当选择单连支回路时,所建立的回路矩阵称为基本回路矩阵,记为 。,13(19),设支路2，5，6为树支，基本回路矩阵为,支 路,回 路,13(20),回路矩阵的每一行元素反映了该回路中所包含的支路及其方向。,选择网孔回路时，网孔回路
7、矩阵为：,13(21),矩阵形式的基尔霍夫电压定律,设网络支路电压的参考方向与支路电流方向一致，写成列向量为,13(22),乘积的每一行对应一个回路电压方程(KVL).,13(23),支路电流与回路电流之间的关系,设支路电流列向量为,回路电流列向量为,支路数：b 节点数：,有,或,13(24),如图,设支路电流列向量为,回路电流列向量为,支路2，5，6为树支,13(25),则有,13(26),13.2.3 割集矩阵,割集是图的一个子集（某些支路的集合），满足 移去该子集，连通图分为两部分； 少移去其中任一条，图保持连通。,割集用符号CS来表示，规定了割集的方向，则割集又可看成一个闭合面。割集为
8、一个广义的节点，流出割集表面的电流代数和为零。 如图，割集CS1包含1、2、3支路，割集CS2包含1、2、5、6支路，割集CS3包含1、4、6支路。,13(27),单树支割集,选定一个树，每一割集只包含一条树支，则称为单树支割集。单树支割集的方向取与树支方向一致。,如图，选1、2、3支路为树支，则单树支割集如图所示。 割集1包含的支路：1，4，6 割集2包含的支路：2，4，5，6 割集3包含的支路：3，5，6,已知树支电压可解出电路各支路电流!,13(28),割集矩阵 Q,13(29),13(30),如图,支路1，2，3为树支,基本割集矩阵,支路电流列向量,13(31),13(32),13.3
9、 节点电压方程的矩阵形式,在讨论实际电路问题的时候，首先必须定义一个能代表一般支路结构的典型支路.,1 典型支路,13(33),2节点电压方程 的导出(无受控源),(1) 写支路电压方程,实际电路:,13(34),(2) 支路电压方程矩阵形式,13(35),(3) 支路导纳矩阵,(4) 矩阵方程变换,两边乘,两边乘,13(36),根据,和,节点电压列向量,13(37),(5) 利用矩阵方程解题,13(38),:电路如图所示，试建立矩阵形式的节点电压方程式。,解: 关联矩阵A,支路阻抗矩阵:,例1,13(39),支路导纳矩阵:,13(40),节点导纳矩阵:,13(41),13(42),矩阵形式的
10、节点电压方程式,13(43),例2:电路如图所示，已知,试求支路电流.,13(44),13(45),13.4 回路电流方程的矩阵形式,13(46),典型支路,即有,13(47),2. 由回路电流求解支路电流电压,典型支路,13(48),例: 电路及有向图如图所示，取支路1、3、6为树支，试建立矩阵形式的回路电流方程。,基本回路矩阵为,支路阻抗矩阵为,解: 选择单连支回路作为基本回路，,13(49),电压源及电流源列向量为,13(50),回路阻抗矩阵为,13(51),矩阵形式的回路方程为,13(52),13.5 割集电压方程的矩阵形式,典型支路,1.割集电压方程的建立,写为矩阵形式，有,13(53),13(54),2. 由割集电压求解支路电流电压,典型支路,13(55),例1: 图示电路，试建立运算形式的 割集电压方程和支路电压表达式。,解 作有向图，选支路1、2、3为树,单树支割集矩阵为,由于电路中不包含受控源，因此支路导纳矩阵为一对角阵,13(56),支路电压源电流源列向量为:,根据,可写出割集电压的矩阵形式,割集电压,13(57),13(58),例2:电路如图所示，已知,试用割集法求支路电流.,解:,选支路1,3,4为树, 列出基本割集矩阵,13(59),13(60),计算式:,13(61),1(61),祝学习愉快！,
