《线性代数修订版 董晓波3.4 向量组的线性相关性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数修订版 董晓波3.4 向量组的线性相关性（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、向量组的线性相关性, 3.4,3.4.1 线性相关与线性无关,定义,则称向量组 线性相关；若当且仅当,时上式才成立，则称向量组 线性无关.,注：任一向量组，不是线性相关就是线性无关.,例如,线性相关.,因为,线性无关.,因为 若,则,从而,特别的,对于一个向量,当且仅当 时线性相关；,当且仅当 时线性无关.,对于两个向量，,向量组 线性相关当且仅当 的分量,对应成比例，其几何意义是两向量共线.,定理,则向量组线性相关的充要条件是,证明,由定义，向量组线性相关，即存在不全为零的,设向量组 构成的矩阵为,向量组线性无关的充要条件是,组 有非零解，当且仅当,又 共有 列，从而 因此向量组线性,无关的
2、充要条件是,推论,证明,个 维向量 线性相关的充要条件是,它所构成的方阵 的行列式,线性无关的充要条件是,向量组 线性相关,向量组 线性无关,向量组的线性相关性与齐次线性方程组的解及矩阵的秩三者之间的联系.,它所构成的方阵为,设 个 维向量,向量组 线性相关,不可逆,（线性无关）,（只有零解）,（可逆）,例如,因为,例,给定向量组,试讨论它的线性相关性.,解法一,对向量组的矩阵 施行初等,行变换，将其化成行阶梯形：,可见 从而向量组 线性无关.,解法二,由于向量组的矩阵,为方阵，而,可知向量组 线性无关.,解法三,即对应的齐次线性方程组,其系数行列式,利用定义，设有数 使得,因此齐次线性方程组
3、只有零解，故向量组线性无关.,例,证法一,已知向量组 线性无关，,证明向量组 线性无关.,即,利用定义，设有数 使得,亦即,因为向量组 线性无关，所以,即,计算,故齐次线性方程组只有零解,则向量组 线性无关.,证法二,因为向量组 线性无关，,所以向量组的矩阵 的秩,由已知条件，,即 其中,计算得,因此 可逆，从而,所以向量组 线性无关.,证法三,由证法二得 设,即,亦即,所以,所以向量组 线性无关.,由线性无关定义，有,3.4.2 线性相关性的有关性质,性质1 包含零向量的任何向量组线性相关.,取,有,性质2 个 维向量组成的向量组，当,(即向量个数大于维数)时必线性相关. 特别地，,任意 个
4、 维向量组成的向量组必线性相关.,组 必线性相关.,部分相关则整体相关,整体无关则部分无关,性质3 若向量组 线性相关，则向量,反之，若向量组,线性无关，则向量组 也线性无关.,若向量组 线性无关，则向量,则向量组 也线性相关.,性质4 设,组 也线性无关.,反之，若向量组 线性相关，,例,讨论向量组,的线性相关性.,解,将 删去第4个分量，成为向量组,易见 线性无关，由性质4知,线性,无关.,也可用定义讨论,向量组 线性相关的,定理,3.4.3 线性表示、线性相关、线性无关三者之间关系,个向量线性表示.,充要条件是其中至少有一个向量可由其余,逆否命题,向量组 线性无关的,个向量线性表示.,充要条件是其中任一个向量都不可能其余,向量组 线性相关不,注：,线性表示. 如,定理,设向量组 线性无关，则向量,组 线性相关的充要条件是向量,能由向量组 线性表示，且表示式,唯一.,例 设向量组 线性相关，向量组,线性无关，证明：,（1） 能由 线性表示；,（2） 不能由 线性表示.,解,知 线性无关，而向量组 线性相关，,因此 能由 线性表示.,线性表示，与向量组 线性无关矛盾，,又由（1）可知 能由 线性表示，则 能由,所以 不能由 线性表示.,
