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1、第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,2.1(a)s.t 解：原模型可化为s.t 于是对偶模型为s.t 2、P89,2.1(b)s.t 解：令原模型可化为s.t 于是对偶模型为s.t 或二、灵敏度分析1、P92, 2.11线性规划问题s.t 最优单纯形表如下CJ3100CBXBbx1x2x3x43x14/3102/3-1/31X25/301-5/34/300-1/3-1/3试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数分别在什么范围内变化，最优解不变？（2） 约束条件右端常数项分别在什么范围内变化，最优基保持不变？解：（1） 的分析：要使得最优解不变，则需
2、 即 所以：时可保持最优解不变。的分析：要使得最优解不变，则需 即 所以：时可保持最优解不变。（2）的分析：要使得最优基保持不变，则需即 所以：时可保持最优基不变。的分析：要使得最优基保持不变，则需即 所以：时可保持最优基不变。2、 P92, 2.12 已知线性规划问题 先用单纯形法求最优解，在讨论下列问题：(1) 目标函数中变量的系数在什么范围内变化，最优解不变？(2) 两个约束的右端项分别在什么范围内变化，最优基不变？(3) 增加一个新的约束，寻找新的最优解。解：化标准型：列表求解：2-110006【1】111004-120012-11002611110010031110-4-2-30已得
3、最优解，其余变量均为0.（1） 的分析：要使最优解不变，必须 的分析：要使最优解不变，必须 的分析：要使最优解不变，必须 （2）的分析：要使得最优基不变，则需 的分析：要使得最优基不变，则需 3、P92, 2.13 已知线性规划问题用单纯形法求解得最终单纯形表如下。32000024/3012/3-1/300310/310-1/32/3000300-111002/300-2/31/30100-1/3-4/300试用灵敏度分析的方法，分析：（1）目标函数中的系数在什么范围内变化，最优解不变？（2）约束条件右端常数项在什么范围内变化，最优基保持不变？（3）增加变量，其在目标中的系数，重新确定最优解；
4、（4）增加一个新的约束，重新确定最优解。解：（1）的分析：要使得最优解不变，则需 的分析：要使得最优解不变，则需 （2）的分析：要使得最优基不变，则需 的分析：要使得最优基不变，则需 （3） 增加变量到最终表中，由于，故需继续迭代找到新的最优解，详见下表： 320000424/3012/3-1/3000310/310-1/32/30010300-1110402/300-2/31/301【2】00-1/3-4/3001 24/3012/3-1/300 0331001/20-1/2005/3001/31/31-2041/300-1/31/601/21000-3/20-1/20所有的，故得新的最优解
5、。（4）由于原解不满足，故不是可行解。将新约束化为等式约束，即将新约束加到原表中，列表用对偶单纯形法重新计算。320000424/3012/3-1/3000310/310-1/32/30000300-1110002/300-2/31/301003100000100-1/3-4/300024/3012/3-1/3000310/310-1/32/30000300-1110002/300-2/31/30100-1/3001/3【-2/3】00100-1/3-4/300023/2011/2000-1/233100000105/200-1/20103/201/200-1/20011/201/200-1/
6、2100-3/200-1000-2由上表知新的最优解。3、P94，2.16 某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、材料等等数据见下表。要求：消耗定额产品可用量ABC资源劳动力(h)635450材料（kg）34530产品利润（元/件）301040（1） 确定获利最大的产品生产计划；（2） 产品A的利润在什么范围内变化时，上述最有计划不需改变？（3） 如果设计一种新产品D，单件劳动力消耗为8h，材料消耗为2kg，每件获利30元，问该种产品是否值得生产？（4） 如果原材料数量不增，劳动力不足时可从市场雇佣，费用为1.8元/h，问该厂要不要雇佣扩大生产？以雇佣多少为宜？解：(1)设A、B、C三种产品各生产件，建立模型如下：求解该模型，得最优解，最大利润300元。最终表如下：3010400003900-5-51-2301014/35/301/30-30-100-10(2)设A产品的利润为，则要使得最优计划不变，需 即A的利润高于24元时不需改变生产计划。（3）设新产品D生产件，其资源消耗向量，在最终表中的结果为其检验数为，增加该产品的生产可以增加总利润。(4) 因劳动力的影子价格（的检验数）为0（1.8），因而增加劳动力对利润无益，故不需要雇佣劳动力。（或者：最优解情况下，劳动力只用了，并未全部用完，故增加劳动力无益于利润的增加。）
