《线性代数第3版 教学课件 ppt 作者 陈建华 44实对称对角化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数第3版 教学课件 ppt 作者 陈建华 44实对称对角化（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定理,定理,定义: 设Ann , Bnn , 若存在可逆阵P, 使P-1APB, 则称A相似于B，记AB.,复习：,Ann有n个不同特征值,(充分不必要),A的每一个ki重特征值 对应ki个线性无关的特征向量,Ann相似于对角矩阵,4.4 实对称矩阵的对角化,1.实对称矩阵的特征值为实数，特征向量为实向量.,一、实对称矩阵特征值和特征向量的性质,2.实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必正交.,证：任取实对称矩阵A对应于不同特征值 的特征向量 , 则,将 转置后再用 右乘得：,二、实对称矩阵的对角化,1.定理 对实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使得,由性质3，,(由P得正交阵Q?),正交化、单位
2、化?,由性质2，不同特征值对应特征向量正交，只要将同一特征值对应的线性无关特征向量正交化, 再将n个向量组成的正交向量组单位化后竖排即得Q.,Q -1AQ 为对角阵,3. 实对称矩阵A的k重特征值必对应k个线性无关特征向量,A有n个线性无关特征向量,A可对角化,(QTAQ),(3)将各重根对应的线性无关特征向量正交化.,(4)将全部正交向量组单位化得,(1)求A的全部不同特征值,(2)求每个特征值 (i=1,2,s)对应的线性无关特征向量,且Q-1AQ=QTAQ = 为对角阵，其主对角线上元素由各特征向量对应的特征值排成.,(5)以 为列向量构成矩阵Q即为所求正交矩阵,2.实对称矩阵对角化时,
3、求正交矩阵的步骤:,例2 求正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角阵, 其中,解,A的特征值为,对 , 齐次线性方程组(3EA)XO的系数矩阵,(3EA),A的属于特征值3的线性无关特征向量为,对 ,齐次线性方程组(A)XO的系数矩阵,(A),A的属于特征值0的线性无关特征向量为,将 正交化得,将 单位化得,令,则：Q -1AQQTAQ,例3.设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,3, 属于1,2的特征向量分别为,(1)求A的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A.,解：(1)设A的属于特征值3的一个特征向量为,则,基础解系为,故 A的属于特征值3的全部特征向量为,(2) 是R3的一组正交基.,单位化
4、得标准正交基,记,则：Q -1AQQTAQ,例4(02考研) A为3阶实对称矩阵,且满足A22AO已知A的秩为2，求A的全部特征值.,由A22AO得,而 O,解 设 为A的一个特征值，对应特征向量为 ，则,实对称矩阵A必可对角化，且r(A)2,A的全部特征值为,相似矩阵有相同的秩!,已知A的特征值之和为1，特征值之积为12, (1)求a、b；(2)求正交矩阵Q, 使得QTAQ,例5(03考研) 设A (b0) ，,b=2,(1)a+2-2=a=1,b24,(2),解(2EA)XO得其基础解系,解(3EA)XO得,为正交向量组, 单位化得标准正交向量组:,QTAQ =,正交矩阵,例6.已知3阶方阵,有3个线性无关的特征向量, 求 x 的值,解,
