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1、第 五 章,相 似 矩 阵 及 二 次 型,1 向量的内积、长度及正交性,一、内积的定义及性质,定义:,n 维向量,的内积,内积的性质:,二、向量的长度及性质,定义:,n 维向量 x 的长度 ( 或范数 ),长度的性质：,长度为1的向量叫单位向量;,任意一个非零向量 x,此外向量的内积满足Schwarz 不等式:,于是对非零向量 x, y, 定义 x 与 y 的夹角,三、正交向量组的概念及求法,当 x, y=0时, 称向量 x 与 y 正交;,特别地, 零向量与任何向量都正交.,一组两两正交的非零向量构成的向量组称为 正交向量组,定理:,正交向量组必线性无关,在实际应用中, 常以正交向量组作为
2、向量空间 的基，叫做向量空间的正交基;,而由单位向量构成的正交基叫做规范正交基 ( 或标准正交基 ).,解：,四、规范正交基的求法,(1) 先使用Schimidt正交化法正交化:,（2）再单位化，取,解: 先正交化，,取,续解:,已正交化得,再单位化得规范正交向量组,五、正交矩阵与正交变换,定义:,若 n 阶方阵A 满足 AT A=E ( 即A1 = AT ), 则称 A 为正交矩阵 ( 简称为正交阵 ).,方阵A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列（行） 向量都是单位向量且两两正交,正交矩阵的性质:,设A, B 为 n 阶正交矩阵, 则,(1) A1 = AT 也为正交矩阵 , 且 |A|=1 或1.,(2) AB 也为正交矩阵.,定义:,若 P 为正交阵, 则线性变换 y =P x 称为 正交变换.,正交变换的性质:,(1) 正交变换可逆，且其逆变换也是正交变换.,(2) 正交变换保持向量的内积及长度不变,例：判别矩阵 A= 是否为正交阵？,解：,只需验证 AT A 是否等于 E ？,由于,所以 A是正交矩阵.,证：,因为,所以 A+3E 是正交矩阵.,
