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1、有限元法与有限体积法 这份讲义内容分为两部分:第一部分简单介绍有限元法;第二 部分介绍有限体积法(广义差分法).我们以Poisson方程第一边值问 题为例: u = f(x,y),(x,y) G,(1) u |= 0, = G.(2) 其中G为一多边形域, = G为G的边界. f L2()为已知 函数. 1有限元法 以问题(1)-(2)为例,我们阐述有限元法的定义. 第一、把边值问题化成等价的变分形式(用到了Green公式以及边值条件):求u H1 0(G),使得 a(u,v) = (f,v),v H1 0(G). (3) 其中 a(u,v) = Z G( u x v x + u y v y
2、)dxdy,(4) (f,v) = Z G fvdxdy.(5) 选取有限维子空间Vn H1 0(G),求 un Vn,使得 a(un,vn) = (f,vn),vn Vn.(6) 若选Vn的基为全支集的代数多项式或三角多项式,即为传统的Ritz-Gakerkin方 法.若取样条函数(分片多项式)作为Vn的基函数,即得 有限元法(FEM). 下面给出两个有限元空间的具体例子,即线性元和二次元. 第二、对区域G作三角形或四边形网格剖分.三角形剖分如图1. 第三、构造基函数.为此,需要面积坐标. 设4(i,j,k)是以i, j, k为顶点的任意三角形单元,面积为S. 于4(i,j,k)内任取一点P
3、(x,y),坐标为(x,y).过P作与三个 顶点的联线,把4(i,j,k)分成三个三角形(如右图2): 4(i,j,P), 4(j,k,P), 4(k,i,P),其面积分别记为Sk,Si,Sj. P Sj Sk Si i k j 图图图 2: 任意三角形单元 1 h Gh 图图图 1区域G的三角形剖分 显然Si+ Sj+ Sk= S.令 Li= Si S , Lj= Sj S , Lk= Sk S ,(7) 则Li,Lj,Lk 0, Li+ Lj+ Lk= 1.称(Li,Lj,Lk)为点P的面积坐标.面积坐标与 坐标系无关. 在面积坐标之下,容易写出一次和二次的Lagrange型插值公式(分片
4、多项式). 取4(1,2,3)的三个顶点为插值节点(图3)的一次插值多项式形式如下: p1(x,y) = L1u1+ L2u2+ L3u3,(8) 取4(1,2,3)顶点及边中点为插值节点(图4)的二次Lagrange插值多项式如下: 1 3 2 图图图 3一次元三角单元 1 3 2 54 6 图图图 4二次元三角单元 p2(x,y) = 3 X i=1 Li(2Li 1)ui+ 4LjLku3+i,(9) 其中u的下标4,5,6依次是边23,31,12的中点, Lj= Li+1,Lk= Li+2,L4= L1,L5= L2,L6= L3. 2 一般地,我们有双线性形式a(,)的正定性 a(u
5、,u) k u k2 1 (10) 及连续性 | a(u,v) | M k u k1k v k1(11) 由此得收敛性 k u unk1 inf vVn k u v k1 k u uIk1(12) 其中u是变分形式的解,un是有限元法的解,uI是u在Vn中的插值. 2有限体积法 首先介绍积分插值法. 假定是多边形区域.将做三角形剖分Th,三角形单元记为K Th,h表示所 有三角形的最大边长.剖分Th称为原始剖分.还要构造与Th相应的对偶剖分T h.常 用的方法有两种: (I)重心对偶剖分.如图5,图中Qi是三角单元的重心,Mi是各边中点.分别连接重心 点和边中点形成了一个围绕P0的多边形(图中
6、阴影部分),即围绕内节点P0的一个 对偶剖分. (II)外心对偶剖分.如图6,设任一三角单元的内角不大于90.Qi是三角单元的外 心(边中垂线的交点),Mi是各边中点.分别连接外心点形成的多边形(图中阴影部 分),即围绕内节点P0的一个对偶剖分. 对于问题(1)-(2),积分插值法的构造如下: 如图6,在对偶单元K P0 上积分(1),并利用Green公式,得 Z K P0 u nds = Z K P0 fdxdy,(13) K P0 是K P0 的边界,n是K P0 的单位外法向量. 由此得到差分格式 6 X i=1 QiQi+1 P0Pi+1 uPi+1 uP0 = Z K P0 fdxd
7、y,(14) 有限体积元法(Finite Volume Element Methods),又称为广义差分法.它是积分 插值法的推广. 3 2.1三角网格上的有限体积法 一、试探函数和检验函数空间 沿用上面的原始剖分及其对偶剖分. P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 M1 M2 M3 M4 M5 M6 图图图 5重心对偶剖分 P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 Q1Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 M1 M2 M3 M4 M5 M6 图图图 6外心对偶剖分 用 h表示剖分Th的节点集合,h= h 表示为内节点集合. h 表示对偶 剖分T h 的节点Q的
8、集合.对Q h ,以KQ表示含Q的三角单元.以SQ和S P0 分 别表示三角单元KQ和对偶单元K P0 的面积.设Th和T h 都是拟均匀的,即存在 与h无关的常数C1,C2,C3 0,使得 C1h2 SQ h2,Q h (15) C2h2 S P0 C3h2,P0 h.(16) 取试探函数空间Uh为相应于Th的一次有限元空间,即 Uh= uh| uh C(),uh|K P1(K),K Th,uh|= 0 H1 0(). (17) 设K = 4PiPjPk为任意三角单元,P(x,y)为单元内一点,其面积坐标为(Li,Lj,Lk). 于是K上的分片线性函数为: uh= uiLi+ ujLj+ u
9、kLk = ui+ (uj ui)Lj+ (uk ui)Lk.(18) 又有 uh x = 1 2S uh Lj (yk yi) + uh Lk (yi yj) = 1 2S ui(yj yk) + uj(yk yi) + uk(yi yj),(19) 4 uh y = 1 2S uh Lj (xi xk) + uh Lk (xj xi) = 1 2S ui(xk xj) + uj(xi xk) + uk(xj xi).(20) 其中uh= uh(xl,yl),l = i,j,k. 对u U = H1 0(),设 hu是u往试探函数空间Uh的插值投影.则有: | u hu |m Ch2m| u
10、 |2,m = 0,1.(21) 检验函数空间Vh取为相应于T h 的分片常数函数空间,其基函数为: P0(x,y) = 1,当(x,y) K P0 0,在别处 (22) 任一vh Vh,可表为 vh= X P0h vh(P0)P0.(23) 对w Uh,设 hw 是w往检验空间Vh的插值投影: hw = X P0h w(P0)P0.(24) 二、有限体积法及差分格式 求解Poisson方程的有限体积法定义为:求uh Uh,使得 a(uh,vh) = (f,vh),vh Vh,(25) 或等价地 a(uh,P0) = (f,P0),P0 h,(26) 其中 a(uh,vh) = X P0h v
11、h(P0)a(uh,P0)(27) a(uh,P0) = Z K P0 uh n ds = Z K P0 (uh x dy uh y dx) = 6 X i=1 Z MiQiMi+1( uh x dy uh y dx).(28) 对于均匀剖分(即x轴和y轴方向的步长均为h ),则得五点差分格式: a(uh,P0) = 4uij ui1,j ui+1,j ui,j1 ui,j+1 = Z K Pij fdxdy(29) 5 三、误差估计 命题2.1对于求解问题(1)-(2)的有限体积法的双线性形式a(,)有: a(uh, h uh) = X KTh Z K uh uhdxdy = a(uh, u
12、h),uh Uh.(30) 其中a(uh, uh)表示有限元法中的双线性形式a(,). 证明: a(uh, h uh) = X P0h uh(P0)a(uh,P0) = X P0h uh(P0) Z K P0 (w(1) h dy + w(2) h dx) , X KTh IK(uh, h uh) 其中 IK(uh, h uh) = X P K uh(P) Z K P T K (w(1) h dy + w(2) h dx) w(1) h = uh x ,w(2) h = uh y 这里的 K表示K = 4PiPjPk的三顶点的集合.(如图7)将(19)和(20)代入上式,我 PiPj Pk M
13、iMj Mk Q 图图图 7三角单元 们有 IK(uh, h uh) = X P K uh(P) Z K P T K (w(1) h dy + w(2) h dx) = w(1) h (yMk yMj) + w(2) h (xMj xMk) uh(Pi) 6 + w(1) h (yMi yMk) + w(2) h (xMk xMi) uh(Pj) + w(1) h (yMj yMi) + w(2) h (xMi xMj) uh(Pk) = (w(1) h uh x + w(2) h uh y )SQ 这里SQ表示图7所示三角单元的面积. IK(uh, h uh) = ( uh x uh x +
14、 uh y uh y )SQ = Z K uh uhdxdy 由此可得 a( uh, huh) = a(uh, h uh) = X K Z K uh uhdxdy = a(uh, uh).(31) 由此可看出对于Poisson方程(或常系数二阶椭圆)的线性元有限体积法双线性形式 是对称的,且等价于有限元法的双线性形式. 注:对于变系数方程,比如纯量对角变系数二阶椭圆方程 ku = f 这时,a( uh, huh) 6= a(uh, h uh).其中有 a(uh,P0) = Z K P0 k uh n ds = Z K P0 k(uh x dy uh y dx) 即对于变系数方程,得到的双线性形
15、式不对称. 由上命题直接可得双线性形式a(,)的正定性. 定理2.1a(uh, huh) 正定,即有 a(uh, huh) =| uh |2 1 C k uh k2 1 uh Uh.(32) 定理2.2设u是问题(1)-(2)的广义解,uh是有限体积法(25)或(26)的解.若u H2(),则有误差估计: k u uhk1 Ch | u |2(33) 证明:给出证明的主要步骤.详细证明见1. 显然有 a(u uh,P0) = 0,P0 h.(34) 7 据定理2.1和上式有 k uh hu k2 1 = 1 C a(uh hu, h(uh hu) = 1 C a(u hu, h(uh hu), 从而 k uh hu k1 1 C sup uhUh | a(u hu, h
