《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.2特征值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.2特征值（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.2 方阵的特征值与特征向量,首页 上页 下页 返回 结束,化等问题也都要用到特征值的理论.,工程技术中的一些问题，如振动问题、稳定性,问题和弹性力学问题等，常归结为求矩阵的特征值,和特征向量. 在数学上，解微分方程组及方阵的对角,首页 上页 下页 返回 结束,零列向量 x 使关系式,定义5.7 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非,成立，那么，这样的数 称为矩阵A的特征值，非零,Ax = x,（5-1）,向量 x 称为A的对应于特征值 的特征向量.,例如,首页 上页 下页 返回 结束, 2是A的一个特征值，,一个特征向量.,显然，若,则 A(kx) = (kx) （k0），,可见属
2、于特征值 的特征向量是不唯一的.,如何求矩阵A的特征值与特征向量？下面讨论,这一问题.,Ax = x ，,x 是A的对应于特征值2的,设 A = （0），,是齐次线性方程组,首页 上页 下页 返回 结束,非零解，,上式是以为未知数的一元n次方程，,的特征方程.,改写成,称为矩阵A,首页 上页 下页 返回 结束,其左端是的n次多项式，,称为矩阵A的,特征多项式.,记作,即,首页 上页 下页 返回 结束,（1）求出A的特征方程 的全部根 ，,（2）对于A的每一个特征值 ，,它们即是A的对应于 的一组线性无关的特征向量，,A的对应于 的全部特征向量为, 特征值、特征向量的求法,即是A的所有特征值；,
3、（ 为不全为0的任意常数）.,求出齐次线性方,首页 上页 下页 返回 结束,例5.5 求矩阵 的特征值和特征向量., A的特征值为,解 A 的特征多项式为,当 时，,解方程组,由,基础解系,首页 上页 下页 返回 结束,对应于 的一特征向量可取为,当 时，,解方程组,由,基础解系,对应于 的一特征向量可取为 .,首页 上页 下页 返回 结束,例5.6 求矩阵 特征值和特征向量., A的特征值为,解 A 的特征多项式为,当 时，,解方程组,由,首页 上页 下页 返回 结束,当 时，,解方程组,由,基础解系, k1 p1（k1 0）是对应于1=2 的全部特征向量.,首页 上页 下页 返回 结束,基
4、础解系, k2 p2（k2 0）是对应于2=3=1 的全部特征向量.,例5.7 求矩阵 特征值和特征向量.,解, A的特征值为,首页 上页 下页 返回 结束,当 时，,由,基础解系,对应于1=-1 的全部特征向量是 k1 p1（k1 0）.,当 时，,由,解方程,解方程,首页 上页 下页 返回 结束,基础解系, 对应于 的全部特征向量,（ 不全为0）.,例5.8 设是方阵A的特征值，证明,首页 上页 下页 返回 结束,.,证 是方阵A的特征值,（1） 是 的特征值；,（2）当A可逆时， 是 的特征值.,有p 0, 使Ap=p.,于是（1）,是 的特征值；,（2）当A可逆时，由 Ap=p,因 p
5、 0，,知,故,不难证明：若是方阵A的特征值，则,首页 上页 下页 返回 结束,.,（其中,（1） 是 的特征值；,是的多项式）,（2） 是 的特征值；,（3） 是 的特征值,（4） 是 的特征值；,（5）当A可逆时， 是 的特征值.,首页 上页 下页 返回 结束,.,则 p1 , p2 , , pm 线性无关.,特征值，p1 , p2 , , pm 依次是与之对应的特征向量，,则（1）,（2）,定理5.4 设 是方阵A的m个互不相等,证明, 特征值、特征向量的性质,定理 5.3 设n 阶方阵 的特征值为,证明,首页 上页 下页 返回 结束,.,|A|A12A1.,知A可逆，,解 因 |A|,例5.9 设3阶矩阵A的特征值为1 1 2 求,12(1)20，,故,把上式记作 (A)，,有 ()2132.,从而 (A)的特征值为 (1)1 (1) 3 (2)3,由定理5.3（2）,是A的特征值，则 ()是 (A) 的特征值,3A2E的特征值,
