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1、5.4 对称矩阵的对角化,首页 上页 下页 返回 结束,实数，,一般地，n阶矩阵A的特征值未必是实数，,未必相似于对角阵.,充分必要条件.,矩阵P，使 为对角阵.,它也,上一节给出了A相似于对角阵的,本节我们将证明对称矩阵的特征值为,而且它一定正交相似于对角阵，,即存在正交,首页 上页 下页 返回 结束,定理 5.7 对称矩阵的特征值为实数.,该定理的意义：,是实系数方程组，,由,证明,系，,知必有实的基础解,方程组,当特征值 i为实数时，齐次线性,所以对应的特征向量可以取实向量.,首页 上页 下页 返回 结束,证,A 对称，,已知,定理5.8 设 是对称阵A的两个特征值，,p2 是对应的特征
2、向量.,即,但,即 p1 与 p2 正交.,p1 ，,若 则 p1 与 p2 正交.,首页 上页 下页 返回 结束,使,定理5.9 设A为n阶对称阵，,其中 是以A的n个特征值为,推论 设A为n阶对称阵，,对角元的对角阵.,根，,特征值恰有r个线性无关的特征向量.,从而对应,证明,则必有正交矩阵P，, 是A的特征方程的r 重,则矩阵 的秩,首页 上页 下页 返回 结束,它们的重数依次为,对称阵A对角化的步骤：,的基础解系，,（2）对每个 重特征值 ，,（1）求出A的全部互不相等的特征值 ，,向量.,单位特征向量.,正交的单位特征向量.,求方程,得 个线性无关的特征,再把它们正交化、单位化，得
3、个两两正交的,因 ，,故总共可得n个两两,首页 上页 下页 返回 结束,例 5.12 设,（3）把这n个两两正交的单位特征向量构成正交,阵P，,为对角阵.,解 由,求一个正交阵P，使,便有,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,故得A的特征值,对应,解方程,由,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,得基础解系,对应,将 单位化，得,解方程,由,首页 上页 下页 返回 结束,得基础解系,解方程,将 单位化，得,对应,由,首页 上页 下页 返回 结束,得,将 正交化：,得基础解系,取,再将 单位化，,首页 上页 下页 返回 结束,将p1 , p2 , p3 构成正交矩阵,有,
