《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.1向量内积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.1向量内积（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.1 向量的内积、长度及正交性,首页 上页 下页 返回 结束,内积的定义与性质,向量的长度和夹角,正交向量组的概念及求法,正交矩阵与正交变换,5.1.1 内积的定义与性质,的范数、夹角等.,且在直角坐标系中，有,向量的数量积定义,向量的内积可用来刻画向量的度量性质，,首页 上页 下页 返回 结束,如向量,在空间解析几何中，我们曾引进3维,首页 上页 下页 返回 结束,定义 5.1 设有 n 维向量,令,内积是两个向量的一种运算，用矩阵记号表示, x , y = xT y., x , y 称为向量 x 与 y 的内积.,n维向量的内积是数量积坐标表示式的一种推广.,内积具有下列性质（其中 x，
2、y，z为n维向量，,为实数）：,首页 上页 下页 返回 结束,（1） x, y = y, x ；,（2） x, y = x, y ；,（3） x + y, z = x, z + y, z ；,（4） x, x 0，当且仅当x = 0 时等号才成立.,利用这些性质，还可证明施瓦茨不等式, x , y 2 x , x y , y .,5.1.2 向量的长度与夹角,定义5. 2 令,称为 n 维向量 x 的长度（或范数）.,n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概,因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广，,并且反过来，利用内积来定义n维向量的长度和夹角.,念，,首页 上页 下页 返回 结束,（
3、3）三角不等式,（2）齐次性,证明,向量的长度具有下述性质：,当 时，,（1）非负性,当且仅当x =0 时，,称 x为单位向量.,首页 上页 下页 返回 结束,向量的内积满足施瓦茨不等式,由此可得,首页 上页 下页 返回 结束,称为n 维向量x 与 y 的夹角., x , y 2 x , x y , y .,（当 时），,定义5. 3 当 时，,于是有下面的定义：,5.1.3 正交向量组的概念及求法,当 x , y = 0，称向量 x 与 y 正交.,显然，若x = 0，则x与任何向量都正交.,下面讨论正交向量组的性质.,定理 5.1 正交向量组是线性无关的.,是指一组两两正交的非零向量.,证
4、明,所谓正交向量组，,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,那么它应满足,解,齐次线性方程组,例 5.1,由,首页 上页 下页 返回 结束,从而有基础解系,得,取,即合所求.,定义5.4 设n维向量e1 , e2 , , er 是向量空间V,首页 上页 下页 返回 结束,且都是单位向量，,范正交基.,（ ）的一个基，,例如,如果e1 , e2 , , er 两两正交，,则称e1 , e2 , , er 是V的一个规,首页 上页 下页 返回 结束,所以e1 , e2 , e3 , e4就是 的一个规范正交基.,由于,首页 上页 下页 返回 结束,一向量a应能由e1 , ,
5、er 线性表示，并且,若e1 e2 er 是V的一个规范正交基 那么V中任,aa e1e1a e2e2 a erer,事实上 设 a1e12e2 rer ,eiTaieiTeii,即 ieiTa a ei.,向量在规范正交基中的坐标,以 eiT左乘上式（i=1 , r)，,则有,首页 上页 下页 返回 结束,V 的一个规范正交基.,设 a1 , a2 , , ar 是向量空间 V 的一个基，要求,单位向量e1 , , er，使e1 , , er 与a1 , , ar 等价.,也就是要找一组两两正交的,这样的问题，称为把 a1 , , ar 这个基规范正交化.,我们可以用以下办法把 a1 , ,
6、 ar 规范正交化：,取,规范正交基的求法,首页 上页 下页 返回 结束,容易验证b1 , , br 两两正交，且b1 , , br 与,a1 , , ar 等价.,然后把它们单位化，即取,首页 上页 下页 返回 结束,就是V的一个规范正交基.,上述从线性无关向量组a1 , , ar 导出正交向量,组b1 , , br的过程，,过程.,它不仅满足b1 , , br 与a1 , , ar 等价，还满,足：对任何k（1 k r )，向量组b1 , , bk 与a1 , , ak 等价.,称为施密特（Schimidt）正交化,首页 上页 下页 返回 结束,例 5.2 设,试用施密特正交化过程把这组向
7、量规范正交化.,解 取 b1=a1，,首页 上页 下页 返回 结束,再把它们单位化，取,e1 , e2 , e3 即为所求.,首页 上页 下页 返回 结束,例 5.3 已知 ，求一组非零向量,a2 , a3，使a1 , a2 , a3两两正交.,解 a2 , a3应满足方程,即,它的一个基础解系,首页 上页 下页 返回 结束,再把1 , 2正交化，即合所求.,亦即取,于是得,其中,5.1.4 正交矩阵与正交变换,定义 5.5 如果 n 阶矩阵 A 满足,那么称 A 为正交矩阵，简称正交阵.,（即 ）,正交矩阵具有下列性质：,（1） 若A 为正交阵，,且 或-1 ；,则 也是正交阵，,首页 上页
8、 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,定理 5.2 方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是,A 的列（行）向量都是单位向量，且两两正交.,即,证明 A = ( a1 , a2 , an ) 为正交矩阵等价于,（2） 若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵.,首页 上页 下页 返回 结束,也等价于,即A 的列向量都是单位向量，且两两正交.,论对A的行向量亦成立.,因为 与 等价，所以上述结,由此可见，n 阶正交矩A的n个列（行）向量构,成向量空间 的一个规范正交基.,首页 上页 下页 返回 结束,例5.4 验证矩阵,是正交阵.,证 P 的每个列向量都是单位向量，,交，,且两两正,所以P 是正交阵.,首页 上页 下页 返回 结束,定义 5.6 若 P 为正交矩阵，,称为正交变换.,正交变换具有下列性质：,正因为正交变换保持向量的长度与夹角不变，,（1）正交变换保持两向量内积不变；,（2）正交变换保持向量的长度不变（保距性）；,（3）正交变换保持向量的夹角不变(保角性).,证明,所以具有保持几何图形不变的优点.,则线性变换 y = Px,
