《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第3章 线性方程组 3.1 矩阵的初等变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 教学课件 ppt 作者 侯亚君 1_第3章 线性方程组 3.1 矩阵的初等变换（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1 矩阵的初等变换,矩阵的初等变换,是矩阵的一种重要的运算，,求矩阵的逆阵、,它在,矩阵的秩、,论的探讨中都有很重要的应用,解线性方程组以及矩阵理,引例,用消元法解线性方程组,(3-1),首页 上页 下页 返回 结束,解,(3-1),方程组（3-1）,其中方程组(3-1),是为了消去方程，,而互换方程和的位置.,的,首页 上页 下页 返回 结束,方程组,是为了保留方程的,方程,的,消去,首页 上页 下页 返回 结束,方程组,是为了保留方程的,方程的,消去,并把中,的系数变为1，,此时恰好把方,首页 上页 下页 返回 结束,则说明原方程组无解），,此时消元完成,方程组,是由两个有效方程组成的
2、阶梯形方程,程变成恒等式,说明方程是多余方程，,、是方程组的有效方程,方程,（如果方程变成矛盾方,程,组，,其中每个台阶的第一个未知数,可选作非自,首页 上页 下页 返回 结束,由的未知数，,（其取值可以任,意），,下面用“回代”的方法就能得到方程组的解：,方程得,代入方程，,由,如果令,则方程组的解为,得,首页 上页 下页 返回 结束,上述的消元过程是把方程组作为一个整体看待，,（3-2）,方程组的解也可记作,首页 上页 下页 返回 结束,从一个方程组变到另一个方程组，,其中用到了下列三,种变换：,（1）交换某两个方程的次序,（如(3-1)中方程,与互换位置，,记作,（2）用非零常数,（如(
3、B2)中用,乘方程，,记作,（3）把某个方程,倍加到另一个方程上去,(B1)中方程的2倍加到方程上去，,（如,记作,乘某个方程,首页 上页 下页 返回 结束,因此，,经过这三种变换后的方程组与变换前的方,程组同解，,称这三种变换是方程组的同解变换，,得到的解（3-2）,最后,就是原方程组（3-1）的全部解,上述三种变换都是可逆的，,即,首页 上页 下页 返回 结束,变换实施到与方程组一一对应的增广矩阵,上，,这便是矩阵的三种初等行变换,在用消元法求解线性方程组的过程中，,实际上我,们只对方程组的系数和常数项进行了运算，,未知数并,未参与,因此，我们可以把对方程组所作的三种同解,首页 上页 下页
4、 返回 结束,定义3.1,对矩阵进行下列三种变换：,（1）互换某两行,（2）用非零常数乘某一行的所有元素,（3）把某一行的所有元素,倍加到另一行对应的,元素上去,称上述三种变换为矩阵的初等行变换,首页 上页 下页 返回 结束,如果把定义3.1中的“行”换成“列”，,则称为矩阵的初等列变换,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初,等变换,如同方程组的三种同解变换一样，,矩阵的三种初,等变换也都是可逆的，,其逆变换仍与其是同一类型的,初等变换,首页 上页 下页 返回 结束,如变换,的逆变换仍为,变换,的逆变换为,变换,的逆变换,如果矩阵,经过有限次初等行变换变成,矩阵,则称,记作,如果矩阵,有
5、限次初等列变换变成,经过,则称矩阵,与,列等价，,为,记作,如果矩阵,经过有限次初等变换变成,首页 上页 下页 返回 结束,(1) 反身性,(2) 对称性,若,则,(3) 传递性,若,则,下面利用初等行变换,增广矩阵,则称矩阵,记作,等价矩阵具有下列性质：,化简线性方程组（3-1）的,来求解线性方程组,首页 上页 下页 返回 结束,增广矩阵,首页 上页 下页 返回 结束,矩阵,与阶梯形方程组,相对应，,称为行阶梯,形矩阵，,其特点是：,在矩阵中可画出一条阶梯线，,个台阶只含有一个非零行，,每,元素不为零，,阶梯线竖线后面的第一个,阶梯线下方的元素都为零,首页 上页 下页 返回 结束,从增广矩阵
6、,化简到矩阵,的过程,恰好对应于线性,方程组的消元过程,由阶梯形方程组,通过“回代”的方法得到方程,组的解的过程,也可以通过继续化简行阶梯形矩阵,来完成，,即,矩阵,对应的方程组为,首页 上页 下页 返回 结束,可选作自由未知数，,并令,得方程组的解：,首页 上页 下页 返回 结束,或,（3-2）,阶梯形矩阵,又称为行最简,形矩阵，,其特点是：,每个非零行的第一个非零元素,都是1，,且这些1所在的列的其它元素都是0,首页 上页 下页 返回 结束,所以，可猜想,定的,只要把线性方程组的增广矩阵化简为行最简形,矩阵，,就能得到方程组的解,抛开矩阵的实际意义，,仅从数学角度，,最简形矩阵再进行初等列
7、变换，,如果对行,则可将矩阵变成更为,简单的形式，,如,由于行最简形矩阵与线性方程组的解一一对应，,任意矩阵的行最简形矩阵一定是唯一确,首页 上页 下页 返回 结束,矩阵,称为矩阵,的标准形，,其特点是：,角是一个单位阵，,其他元素都为0,一般地，,对于任意,非零矩阵,有限次初等行变换,总可以实施,把它化为行最简形矩阵，,限次初等列变换,再实施有,把它化成标准形,它的左上,首页 上页 下页 返回 结束,行最简形矩阵与标准形矩阵都由,唯一确定，,三个数,标准形是等价矩阵中形式最简单的矩阵，,其中单位阵,的阶数,就是行阶梯形矩阵中非零行,的行数,矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，,它具有如
8、下的性质：,定理3.1,设,为,矩阵，,则,的充分必要条件是,存在,阶可逆矩阵,首页 上页 下页 返回 结束,的充分必要条件是,存在,阶可逆矩阵,使,的充分必要条件是,分别存在,阶,和,阶可逆矩阵,和,使,使,初等矩阵的知识,首页 上页 下页 返回 结束,推论,方阵,可逆的充分必要条件是,证,可逆,存在可逆阵,使,又由定理3.1知，,可逆,下面利用矩阵的初等变换给出求逆阵的另一种方法,由定理3.1，,存在可逆矩阵,使,那么可逆阵,如何求得？,首页 上页 下页 返回 结束,由,即对分块阵,作初等行变换，,当子块,变成,时，,单位阵,就变成,从而得到所求的可逆阵,在上面的讨论中，,若,为单位阵,求
9、可逆矩阵,使,则,就是,的逆阵,首页 上页 下页 返回 结束,这时只需对分块阵,作初等行变换，,当子块,变成单位阵,时，,说明,即,可逆，,子块,同时,就变成,例3.1,设,证明,可逆，,并,求,解,对分块阵,作初等行变换，,目的是将子,块,变成单位阵,即,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,可逆,且,首页 上页 下页 返回 结束,例3.2,设,且,求,解,若,可逆，,则,首页 上页 下页 返回 结束,下面对分块阵,作初等行变换，,目的是,将子块,化成单位阵,即,首页 上页 下页 返回 结束,可逆，,且,首页 上页 下页 返回 结束,首页 上页 下页 返回 结束,
