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1、内容提要:,第7章 数字电路基础,数字电路的核心是逻辑运算，而逻辑代数则是逻辑运算的数学工具。掌握好逻辑代数并能灵活熟练地用于逻辑函数的分析和设计是学好数字电路的基础。本章首先介绍数字电路的基本概念、特点及数制、码制等知识，然后重点讨论逻辑代数的基本运算、基本概念、基本定理和规则，并着重讲述逻辑函数的常用表示形式和相互转换方法及逻辑函数的代数化简法。,本章内容提要,7.1 数字电路概述,7.2 逻辑代数基础,7.3 逻辑函数的几种表示方 法及其相互转换,7.4 逻辑函数的代数法化简,7.1 数字电路概述,7.1.1 数字电路的主要特点,电信号可以分为模拟信号和数字信号两类,图7-1 模拟信号和
2、数字信号 a)模拟信号 b)数字信号,模拟信号的数值相对于时间的变化是连续的，处理模拟信号的电路称为模拟电路,数字信号的数值相对于时间的变化是离散的，处理数字信号的电路称为数字电路。数字信号具有不连续和突变的特性，也称脉冲信号,数字电路具有以下几个特点：,（1）数字电路中，输入、输出电压值一般只有两种取值：高电平或低电平，常采用“1”和“0”两个数码来表示。它们不具有数量大小的意义，仅表示客观事物的两种相反状态。规定用“1”表示高电平，用“0”表示低电平，称为正逻辑，反之为负逻辑。本书均采用正逻辑。,（2）数字电路主要研究电路输入、输出的0、1符号序列间的逻辑关系。,（3）数字电路在稳态时，电
3、子器件处于开关状态。,（4）数字信号有抗干扰能力强、功耗低、对电路元件精度要求不高、可靠性强、便于集成化和系列化生产等特点。,（5）数字电路保密性好，信息能长期在电路中加以存储。,7.1.2 数制与码制,1数制 数制是一种计数的方法，它是进位计数制的简称。,（1）十进制。十进制是以10为基数的计数制，在十进制中，每位有09十个数码，它的进位规则是“逢十进一”。,任意一个十进制数 可展开为,是第 位的系数，它可以是09十个数码中的任何一个；10i称为第 位的权。,例如：,431.254102+3101+1100+210-1510-2,（2）二进制。在数字电路中广泛采用的是二进制。二进制是以2为基
4、数的计数制，只有0和1两个数码，它的进位规则是“逢二进一”。,例如：,(101.01)2122+021+120+02-112-2,（3）八进制和十六进制。用二进制表示数时，数码串很长，书写和显示都不方便，在计算机中常用八进制和十六进制。八进制有07八个数码，进位规则是“逢八进一”。,(354.2)8382+581+480+281,例如：,十六进制有09、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)十六个数码，进位规则是“逢十六进一”。,例如：,(3BD.2)163162+11161+13160+2161,2数制转换,（1）二进制与十进制的相互转换,1）二进制数转换成十
5、进制数。只要将二进制数的各位加权系数求和即可。,例7-1 将 (101.11)2 转换成十进制数。,解：,(101.11)2122+021+120+121122,4010.50.25,5.75,2）十进制数转换成二进制数。对于整数部分采用“除2取余，由低到高”法，对于小数部分采用“乘2取整，从高到低”法。,例7-2 将(27.75)10转换成二进制数。,第一步：将整数部分27转换成二进制数,解：,即 （27)10（11011)2,即 （0.75)10=(0.11)2 所以 （27.25)10=（11011.11)2,（2）二进制与八（十六）进制的相互转换,1）二进制数转换成八（十六）进制数。从
6、小数点开始分别向左、向右每3位（4位）分一组，最后不满3位（4位）的加0使其足位。然后把每一组二进制数转换成相应八（十六）进制数并保持原排序，即为等值的八（十六）进制数。,例7-3 将(10111011.01111)2转换成八进制数和十六进制数。,八进制 2 7 3 . 3 6,二进制 0 1 0 1 1 1 0 1 1 . 0 1 1 1 1 0 0 0,十六进制 B B . 7 8,解：,即 （10111011.0111)2 =(273.36)8 =(BB.78)16,2）八（十六）进制数转换成二进制数。从小数点开始分别向左、向右把八（十六）进制数的每一位数码分别转换成3位（4位）的二进制
7、数，并保持原排序，即为等值的二进制数。整数最高位一组左边的0及小数最低位一组右边的0可以省略。,例7-4 将(26.35)8转换成二进制数。,解：,2 6 . 3 5 010 110 011 101,即 (26.35)8=(10110.011101)2,2码制 码制是指用二进制数表示数字或符号的编码方法。通常用4位二进制码表示1位十进制数的编码方法叫做二十进制码，简称BCD码(Binary Coded Decimal)。这里的“二进制”并无“进位”的含义，只是强调采用的是二进制数的符号而已。,四位二进制数共16种组合，从中取出10种组合来表示“09”的编码方案约有2.91010种，表7-1列举
8、了目前常用的几种编码方案。,表7-1 几种常用的BCD码,（1）8421BCD码。8421BCD码是有固定权的码，各位的权值分别为8、4、2、1。8421BCD码是最基本最简单的一种编码方案，应用十分广泛。,（2）2421BCD码。2421BCD码是有固定权的码，各位的权 值分别为2、4、2、1。,（3）5421BCD码。5421BCD码是有固定权的码，各位的权值分别为5、4、2、1。,（4）余3BCD码。余3BCD码是8421BCD码的每个码组加0011形成，余3BCD码的各位无固定的权，为无权码。余3BCD码也是一种对9的自补代码，其中0和9、1和8、2和7、3和6、4和5的余3BCD码互
9、为自补代码。,（5）格雷码(Gray码)。任何相邻的两个代码之间(包括首、尾两个代码)只有一位不同，其余各位均相同，因而格雷码也叫循环码，属于无权码。格雷码所具有的特点可以降低其产生错误的概率。,7.2 逻辑代数基础,7.2.1 逻辑变量与逻辑函数,逻辑代数和普通代数一样，也用字母来表示变量，这种变量叫逻辑变量。所不同的是普通代数中的变量根据实际情况可以取多个值，而逻辑变量的取值只有0或1，而且这时0和1不再表示数量大小，只表示两种不同的逻辑状态。在数字系统中，开关的接通和断开、电压的高和低、晶体管的导通和截止等两种状态均可用1和0来表征。,在研究事件的因果变化关系时，决定事件变化的因素称为逻
10、辑自变量，而与之对应事件的结果称为逻辑因变量，以某种形式表示的逻辑自变量与逻辑因变量之间的函数关系称为逻辑函数。,7.2.2 逻辑代数的三种基本运算,在逻辑代数中，基本的逻辑运算有三种：与运算、或运算、非运算。,1与运算和与门,（1）与运算。与运算是指所有条件同时满足时结果才成立。如图7-2a所示的是两个串联的开关控制一个灯泡，若把开关的闭合作为条件，灯泡亮作为结果，显然，只有开关、都闭合，灯泡才会亮。,（2）与门。如图7-2b所示的是由二极管构成的与门电路。由图可知，在输入端A，B中只要有一个信号为低电平0，则对应输入端相连的二极管获得正向电压而导通，在二极管的嵌位作用下，使输出为低电平0；
11、只有输入 A，B同时为高电平1时，输出 Y才为高电平1。可见，输出端与输入端之间存在着与运算关系。与门电路的逻辑符号如图7-2c所示。,把输入变量可能的取值组合状态及其对应的输出状态列成表格，称为真值表。与门电路的真值表见表7-2。,表7-2 与逻辑的真值表,与逻辑关系用逻辑函数来表示，称为逻辑乘,逻辑乘的基本运算是 ， ， ，,2或运算和或门,（1）或运算。或运算是指所有条件中只要有一个满足结果就成立。如图7-3a所示的是两个并联的开关控制一个灯泡，若把开关闭合作为条件，灯泡亮作为结果，显然，开关A、B只要有一个闭合，灯泡就会亮。,（2）或门。如图7-3b所示的是由二极管构成的或门电路。由图
12、可知，在输入端A，B中只要有一个信号为高电平1，则对应输入端相连的二极管就会导通，输出Y即为高电平1；只有输入A，B同时为低电平0时，输出Y才为低电平0。或门电路的逻辑符号如图7-3c所示。,或门电路的真值表如表7-3。,表7-3 或逻辑的真值表,或逻辑关系用逻辑函数来表示，称为逻辑加,逻辑加的基本运算是: ， ， ，,3非运算和非门,（1）非运算。非运算是指结果与条件相反。如图7-4a所示是一个开关和一个灯泡并联，若把开关闭合作为条件，灯泡亮作为结果，显然，开关A闭合，灯泡不亮；开关A打开，灯泡亮。,（2）非门。如图7-4b所示的是晶体管非门电路。当输入端A为高电平1时，晶体管处于饱和状态，
13、输出Y为低电平0；当输入端 A为低电平0时，晶体管处于截止状态，输出为高电平1。非门电路的逻辑符号如图7-4c所示。,非门电路的真值表如表7-4。,表7-4 非逻辑的真值表,7.2.3 几种常用复合逻辑运算,与、或、非三种基本逻辑运算可以组成多种复合逻辑运算。常用的复合逻辑运算有：与非、或非、与或非、异或、同或等。其逻辑表达式、真值表及逻辑符号见表7-5。,表7-5 常用复合逻辑运算的逻辑表达式、真值表及逻辑符号,7.2.4 逻辑代数的基本定律,基本定律反映了逻辑运算的一些基本规律，只有掌握了这些基本定律才能正确地分析和设计出逻辑电路。逻辑代数基本定律见表7-6所示。,表7-6 逻辑代数基本定
14、律,例7-5 试用真值表验证 的正确性。,解：,将变量A和B结果的所有取值代入等式两边，得出的真值表如表7-7所示，表明 与 的结果相等，故等式成立。,表7-7 与 的真值表,7.3 逻辑函数的几种表示方法及其相互转换,7.3.1 逻辑函数的表示方法,在处理逻辑问题时，常用的逻辑函数表示法有真值表、逻辑表达式、逻辑图和卡诺图(卡诺图留到后面讲解)，这几种表示方法是可以互相转换的。在实际应用中，可根据各自的需要而选择表示法。,1真值表 所谓真值表，是指输入逻辑变量的各种可能取值和相应的输出逻辑函数之间对应关系的表格。每一个变量有0、1两个取值。,2逻辑表达式 所谓逻辑表达式，是指用与、或、非等运
15、算的组合形式所表示的输入与输出逻辑变量之间关系的逻辑代数式。逻辑表达式表示方法简捷，也便于利用代数法对其进行化简。,3逻辑图 所谓逻辑图是指将逻辑表达式中的与、或、非等逻辑关系用对应的逻辑符号表示得到的图形。逻辑图便于连成逻辑电路。,7.3.2 逻辑函数几种表示方法的相互转换,1.已知真值表求逻辑表达式和逻辑图 由真值表到逻辑表达式的转换步骤为：在真值表中，首先选出输出值为1的输入变量组合；其次写出每一个使输出为1的输入变量组合组成的乘积项，取1的写成原变量，取0的写成反变量；最后把这些乘积项相加，即得到逻辑表达式。,用相应逻辑符号逐一代替逻辑表达式中的运算符号，即可得逻辑图。,例7-6 试写出表7-8给出的真值表对应的逻辑表达式。,表7-8 真值表,从表7-8中可知：第二、四、五、六行是 的项，它们分别对应的乘积项为 。故的逻辑表达式为上述四个乘积项之和，即,2已知逻辑表达式求真值表 由逻辑表达式到真值表的转换步骤为：按照逻辑表达式的规律，将输入变量的各种可能取值代入表达式进行运算，求出相应的函数值，再将输入变量的各种可能取值和运算所得的函数值一一对应列成表格，就得到该逻辑函数的真值表。,例7-7 列出逻辑表达式 的真值表。,观察表达式中有A，B，C三个输入变量
