《线性代数第3版 教学课件 ppt 作者 陈建华 35向量空间》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数第3版 教学课件 ppt 作者 陈建华 35向量空间（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019/5/22,第二章 线性方程组,1,1. 是 的线性组合( 可由 线性表示),2. 任一n维向量 都是Rn的基本单位向量组的线性组合:,有解,(组合系数就是方程组的一个解),3.,可表示为,的线性组合,复习：,有非零解,(无),(只有零解),r n,(r = n),5.,线性相关,线性相关,不全为0，,4.,线性无关,仅当k1=k2=ks=0时成立.,重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.,可否由 线性表示,竖排行变换， 放末列.,是否线性相关,竖排行变换.,求向量组的秩,并将其余,竖排行变换.,定理5.向量组 线性相关,(线性无关),(任一向量都不能由其余向量线性表示),其中至少
2、有一个向量是其余向量的线性组合,定理3.部分相关 整体相关；整体无关 部分无关,定理4. 短无关 长无关；长相关 短相关.,定理6. 线性无关， 线性相关,可由 唯一线性表示.,定理1. n个n维向量线性相关,(线性无关),(不为0),定理2.向量个数向量维数，,其排成的行列式值为0,向量组线性相关.,定理8.向量组与其极大无关组等价.,推论 向量组的任意两个极大无关组等价,定理7. 向量组(I)可由(II) ， (II)可由()线性表示,向量组(I)可由()线性表示,定理9 向量组 可由 线性表示,若t s，则 线性相关.,(记：多的可由少的线性表示，多的线性相关),推论3 向量组的所有极大
3、无关组所含向量个数相等,推论1(逆否命题),推论2 等价的线性无关向量组所含向量个数相等.,线性表示,线性无关，且可由,定理10,推论：等价的向量组秩相等.,可由 线性表示,五、向量组的秩与矩阵的秩的关系,2.3 向量组的秩 一、极大无关组二、等价向量组三、向量组的秩四、典型例题,矩阵的行秩:矩阵的行向量组的秩,矩阵的列秩:矩阵的列向量组的秩,定理11 矩阵A的行秩矩阵A的列秩矩阵A的秩,(“三秩相等”定理),由“重要结论:行变换不改变列向量间的线性关系” 理解定理:,=,A的列秩,(加法、数乘封闭),一、向量空间概念,3.4 向量空间,定义 实数域R上的n维向量构成的非空集合V满足: (1)
4、 ; (2),则称V 为实数域R上的向量空间.,Lo,称为零空间.,是一个向量空间.,不是向量空间.,例:,实数域R上的所有n维向量的集合，记Rn.,平面直角坐标系中,点P对应有向线段 二维向量. 两向量的和、实数与向量的积仍是二维向量. 所有二维向量的集合二维向量空间R2即整个坐标平面.三维向量空间R3为普通几何空间.,“基与坐标”概念的背景：,设某三维向量坐标为：,则有:,即:任一三维向量的坐标即为该向量用三维向量空间R3的极大无关组 线性表示时的组合系数.,称 为R3的一组基. 推广:,R3的任一极大无关组称作R3的一组基(秩即为空间的维数),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1
5、),x,y,z,一般地, 可对n维向量空间Rn定义基、维数、坐标:,某三维向量由其线性表示时,的组合系数称作该向量在这组基下的坐标.,二、基、维数与坐标,定义 设V是向量空间, 若向量组满足,(1) 线性无关;(2)V中任一向量都可由 线性表示. 则称 为空间V的一组基，n称为V的维数，记dimV=n，并称V为n维向量空间.,注: (1)某n个向量是Rn的基,其排成的行列式值0,(2) n维向量关于某一组基的坐标唯一.,(3)标准基:,关于标准基的坐标为(a1, a2, , an),同时可证明到 线性无关!,例1 证明,是R4的一组基，,并求向量 在这组基下的坐标.,解,直接将向量 表示为 的
6、线性组合!,线性无关，且,即 是一组基, 向量 在其下的坐标为,(加法、数乘封闭),三、子空间及其维数,定义 设V是向量空间，W是V的非空子集，若W关于V的加法和数乘运算也构成向量空间，则称W是V的一个子空间。,规定:零子空间的维数0,0dimLdimV,o与V称为V的平凡子空间，V的其他子空间称为非平凡子空间.,是 的子空间，其维数dimW , 一组基:,2,R3,则： 是向量空间， 称为Rn的由 生成的子空间.,的任一极大无关组均为基.,注:(1)区分 的维数与向量 的维数!,例2 设 Rn，用 表示,的一切线性组合形成的集合，即:,(2)等价向量组生成同一向量空间。,P99: 例15 求生成子空间的维数和一组基,例3 设A=(aij)mn , AXO的全体解向量的集合为L,(1) 若r(A)n，则：,AXO只有零解,Lo；,(2) 若r(A)r n，则：,AXO有非零解,称为齐次线性方程组AXO的解空间.,当r(A)r n时，解空间的维数? 基?,其全部解可用有限个解线性表示,请看下节线性方程组解的结构,补充作业：,1.证明 是R3的一组基,并求向量 在这组基下的坐标.,2.证明,3.在R4中求出由向量,生成子空间的维数和一组基.,是R3的一组基，并求向量 在这组基下的坐标.,
