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1、北京市西城区高三统一测试 数学（理科） 第第卷卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1若集合，则|320AxxR 2 |230BxxxRAB （A） |1xx R（B） 2 | 1 3 xx R （C） 2 |3 3 xxR（D）|3xxR 2执行如图所示的程序框图，输出的值为k （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 3已知圆的方程为以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，该 22 20xyyx 圆的极坐标方程为 （A）2sin （B）2sin （C）2cos （D）2cos 4正三棱柱的
2、三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是 （A） （B）3 3 9 3 2 （C） （D）6362 3 5已知是正方形的中心若，其中，则OABCDDOABAC R （A） 1 2 （B）2 （C）2（D）2 6设函数则“有两个不同的零点”是“，使”的 2 ( )f xxbxc( )f x 0 xR 0 ()0f x （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 7函数 则的图象上关于原点对称的点共有 2 241,0, ( ) 2 3 ,0. x xxx f x x ( )yf xO （A）0 对（ B）1 对 （C）2 对（D）3 对 8某计算机系统在
3、同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务现 有 三项任务 U，V，W，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s）依次为，abc 其中一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任abc 务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比下列四种执行顺序中，使三项任务“相 对等待时间”之和最小的是 （A） UVW（B）VWU（C）WUV（D）UWV 第第卷卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9若复数的实部与虚部相等，则实数_ (i)(34i)a a 10设等差数列的前项和为若，则_；_ n an n S 1 2a
4、4 20S 3 a n S 11已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则_； 2 8yx 2 2 2 1(0) x ya a a 双曲线的渐近线方程是_ 12设，若函数的最小正周期为，则_0 2 cosyx 2 13安排甲、乙、丙、丁 4 人参加 3 个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参 加若甲、乙 2 人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为_ （用数字作答） 14如图，在长方体中， 1111 ABCDABC D 1 2AAAB1BC 点在侧面上若点到直线和的距离相等， P 11 A ABBP 1 AACD 则的最小值是_ 1 A P 三、解答题：本大题共 6 小题，共
5、80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15 （本小题满分 13 分） 在中，已知ABC3sinsin2aCcA （）求的大小；A （）若，求的面积7a 2 3b ABC 16 （本小题满分 13 分） 某企业 2017 年招聘员工，其中 A、B、C、D、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比 例（精确到 1%）如下： 岗位岗位男性应聘人数男性应聘人数男性录用人数男性录用人数男性录用比例男性录用比例女性应聘人数女性应聘人数女性录用人数女性录用人数女性录用比例女性录用比例 A26916762%402460% B401230%2026231% C1775732%1845932%
6、D442659%382258% E3267%3267% 总计53326450%46716936% （）从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，试估计此人被录用的概率； （） 从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 2 人记为这 2 人中被录用的人数，求的分布列XX 和数学期望； （）表中 A、B、C、D、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于 5%） ， 但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例研究发现，若只考虑其中某四种岗 位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位 （只需写出结论） 17 （本小题满分 14 分） 如图 1，在中，分别为，的中点，为的中点，A
7、BCDEABACODE ，将沿折起到的位置，使得平面平面2 5ABAC4BC ADEDE 1 ADE 1 ADE ，如图 2BCED （）求证：； 1 AOBD （）求直线和平面所成角的正弦值； 1 AC 1 A BD （）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出 1 ACFDFBC 5 3 的值；若不存在，说明理由 1 1 A F AC 图 1 图 2 18 （本小题满分 13 分） 已知函数，其中 1 ( )e(ln ) x f xax x aR （）若曲线在处的切线 与直线垂直，求的值；( )yf x1x e x y a （）当时，证明：存在极小值(0,ln2)a( )
8、f x 19 （本小题满分 14 分） 已知圆和椭圆，是椭圆的左焦点 22 :4O xy 22 :24C xyFC （）求椭圆的离心率和点的坐标；CF （）点在椭圆上，过作轴的垂线，交圆于点（不重合） ， 是过点的圆PCPxOQ,P QlQ 的切线圆的圆心为点，半径长为试判断直线 与圆的位置关系，并证OFF|PFlF 明你的结论 20 （本小题满分 13 分） 数列：满足：记的前项和为，并规定 n A 12 ,(2) n aaan1 (1,2, ) k akn n Ak k S 定义集合， 0 0S * n EkN|kn kj SS0,1,1jk （）对数列：，求集合； 5 A0.30.70.
9、10.90.1 5 E （）若集合，证明： 12 , (1 nm Ek kkm 12 ) m kkk ； 1 1 (1,2,1) ii kk SSim （）给定正整数对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值C n SC n A n E 数学（理科）参考答案及评分标准 2018.4 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1D 2C 3B 4D 5B 6C 7C 8A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9 10， 11， 76 2
10、 nn330xy 12 13 142303 注：第注：第 1010，1111 题第一空题第一空 3 3 分，第二空分，第二空 2 2 分分. . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. . 15 （本小题满分 13 分） 解：（）因为 ，3sinsin2aCcA 所以 13sin2sincos a CAA c 分 在中，由正弦定理得 3 分ABC sin 3sin2sincos sin A CAA C 所以 4 分 3 cos 2 A 因为 ， 5 分0A 所以 6 6
11、 A 分 （）在中，由余弦定理得 ，ABC 222 2cosabcbcA 所以 ， 8 分 222 3 ( 7)(2 3)2(2 3) 2 cc 整理得 ， 9 分 2 650cc 解得 ，或，均适合题意 111c 5c 分 当时，的面积为 12 分1c ABC 13 sin 22 SbcA 当时，的面积为 13 分5c ABC 15 3 sin 22 SbcA 16 （本小题满分 13 分） 解：（）因为 表中所有应聘人员总数为 ，5334671000 被该企业录用的人数为 ，264169433 所以 从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，此人被录用的概率约为 3 433 1000 P 分
12、（）X 可能的取值为 40,1,2 分 因为应聘 E 岗位的 6 人中，被录用的有 4 人，未被录用的有 2 人， 5 分 所以 ； ； 2 2 2 6 C1 (0) C15 P X 11 24 2 6 C C8 (1) C15 P X 8 2 4 2 6 C2 (2) C5 P X 分 所以 X 的分布列为： X012 P 1 15 8 15 2 5 10 分 1824 ()012 151553 E X （）这四种岗位是：B、C、D、E 13 分 17 （本小题满分 14 分） 解：（）因为 在中，分别为，的中点，ABCDEABAC 所以 ，/DEBCADAE 所以 ，又为的中点， 11 A
13、 DA EODE 所以 1 分 1 AODE 因为 平面平面，且平面， 1 ADE BCED 1 AO 1 ADE 所以 平面， 3 分 1 AO BCED 所以 4 分 1 AOBD （）取的中点，连接，所以 BCGOGOEOG 由（）得 ， 1 AOOE 1 AOOG 如图建立空间直角坐标系 5 分Oxyz- 由题意得， 1(0,0,2) A(2, 2,0)B(2,2,0)C(0, 1,0)D 所以 ， 1 (2, 2, 2)A B 1 (0, 1, 2)A D 1 (2,2, 2)AC 设平面的法向量为， 1 A BD( , , )x y zn 则 即 1 1 0, 0, A B A D n n 2220, 20. xyz yz 令，则，所以
