《经济应用数学 教学课件 ppt 作者 皮利利第六章矩阵代数和线性方程组 第二节矩阵的行初等变换及矩阵的秩》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经济应用数学 教学课件 ppt 作者 皮利利第六章矩阵代数和线性方程组 第二节矩阵的行初等变换及矩阵的秩（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 矩阵的行初等变换及矩阵的秩,一、矩阵的行初等变换及阶梯形矩阵,定义6.8 矩阵的以下三种初等变换统称为矩阵的行初等变换： (1) 换法变换：对换矩阵两行的位置； 如交换矩阵A的第i行和第j行，记为： (2) 倍法变换：将矩阵的一行中所有元素同乘以一个非零数 k； 如用非零数 k乘以矩阵A的第i行，记为：,目录,(3) 消法变换：将矩阵的某一行中所有元素同乘以一个数后加到另一行。 如将矩阵 A 的第 j 行中所有元素同乘以一个数k后加到第 I 行，记为：,定义6.9 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵 1) 如果矩阵有零行(元素全部为零的行)，零行全部在矩阵的下方; 2) 各个非零行的第一
2、个非零元素的列标随着行标的递增而严格增大；,例如：,都是阶梯形矩阵。,定理6.1 任一个矩阵都可经一系列行初等变换化为阶梯形矩阵。 如果矩阵A经一系列行初等变换化为阶梯形矩阵B,则称矩阵B为矩阵A的阶梯形矩阵。,例1 将矩阵,进行初等变换化为阶梯形矩阵。,矩阵 B1、B2、B3、B4 都是矩阵 A 的阶梯形矩阵。,如矩阵B4,每行首非零元是 1 ，并且这些 1 所在列的其余元素都是 0 。 具有这两个特点的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵,注意：行最简形矩阵是由矩阵唯一确定的,行阶梯形矩阵的行数也是由矩阵唯一确定的。,二、 矩阵的秩,定义6.10 矩阵 A 的阶梯形矩阵的非零行的行数称为矩阵 A
3、的秩，记为秩 A 或 r (A)。,例如,易见是 A 一个阶梯形矩阵，非零行行数为3,所以 A 的秩为3。,求任意矩阵 A 的秩的方法：用行初等变换把矩阵 A 化为阶梯形，,记为 r (A) 3,则 r (A) 非零行的行数。,例2 设矩阵,求,解 因为,所以,所以,例3 求矩阵,的秩。,解：将A进行行初等变换,所以,例4 设矩阵,求 r (A),解,所以,r (A) 2,定义6.11 设A是n阶矩阵,若 r (A) n,则称 A 为满秩矩阵, 若r (A)n ,则称 A为降秩矩阵。 满秩矩阵一定是方阵,它的行简化阶梯形主对角线上元素均等于 1 ,其它元素为 0 ，因此满秩矩阵的行简化阶梯形是单位矩阵。,例5 判断下列矩阵是否为满秩矩阵,解 (1)通过行初等变换,，所以三阶矩阵A是满秩矩阵,(2) 因为,即,，所以四阶矩阵B不是满秩矩阵。,即,作业 P187 习题6.2 1 2 3,
