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1、第3章 平面任意力系,3.1 平面任意力系的简化 3.2 平面任意力系简化结果的分析 3.3 平面任意力系的平衡 3.4 物体系统的平衡问题 3.5 平面桁架 3.6 考虑摩擦时物体的平衡问题,3.1 平面任意力系的简化,平面任意力系：各力的作用线位于同一平面内，但呈任意分布的力系。,例,3,3.1.1 力的平移定理,力的平移定理：可以把作用在刚体上点A处的力F平行移到另一 点O，但必须同时附加一个力偶。该力偶之矩 等于原来的力F对新作用点O之矩。,力的平移定理是力系简化的理论基础。,4,3.1.2 平面任意力系向作用面内任一点简化,5,一、主矢 等于原力系中各力的矢量和，称为原平面力系的主矢
2、。,（移动效应）,6,二、主矩 等于原力系中各力对于简化中心O之矩的代数和，称为 原平面力系对于简化中心的主矩。,（转动效应）,7,三、固定端约束,认为Fi这群力在同一 平面内; 将Fi向A点简化得一 力和一力偶; RA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示; FAx, FAy, MA为固定端 约束反力; FAx, FAy限制物体平动, MA限制物体转动。,8,3-2 平面任意力系简化结果的分析,3.2.1 简化结果的分析 简化结果： 主矢 ，主矩MO ，可能出现以下四种情况：,=0， MO =0，该平面任意力系为平衡力系，将在下节 详细讨论。, =0,MO0 简化为一个合力偶，其力偶矩等
3、于原力系 对于简化中心O的主矩。由于力偶对其平面内任一点的矩都相等，故不论原力系向哪一点简化，得到的合力偶矩都相同。力系的主矩与简化中心的位置无关。, 0,MO =0, 简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）。此时简化结构与简化中心有关，换个简化中心，主矩将不再为零。,9, 0,MO 0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简化 为一个合力FR。,合力FR的大小等于原力系的主矢 点O到合力作用线的距离,10,3.2.2 合力矩定理,平面任意力系的合力对于点O之矩等于原力系对简化中心O的主矩，即： 原力系对简化中心O的主矩，又等于原力系中各力对简化中心O之矩的代
4、数和，即 于是，便有 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和 平面任意力系 的合力矩定理。,求：合力的大小、方向及与基底AB的交点至点A的距离a。该力系的合力。,11,例 3-1,已知:重力坝，G1=450kN，G2=200kN，左侧水压力F1=300kN，右侧水压力F2=80kN，其作用线过坝体角点A。,解：,1、首先将力系向点A简化，求得力系的主矢 和对点A的主矩MA。由图示几何关系： 主矢 在坐标轴上的投影分别为,12,主矢 的大小为： 其与x轴正向间的夹角为,力系对于点A的主矩为,2、原力系还可进一步简化为过点C的一个合力FR，其大小和方 向与
5、主矢 相同。设合力FR与基底AB的交点C到A的距离为a：,求：该分布力系合力的大小及作用线位置。该力系的合力。,13,例 3-2,已知:长度为l的简支梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图所示，其分布载荷集度的最大值为q0。,解：,1、建立坐标系Axy如图所示，载荷集度为坐标位置x的函数。距A端为x处的载荷集度为： 整个梁上分布载荷合力的大小为,方向铅垂向下。,14,2、下面确定此合力作用线的位置。设合力的作用线距A端 的距离为a，在距A端x处取长度为dx的微段，该微段上的力 q(x)dx对点A的力矩为q(x)xdx，则由合力矩定理，得： 即,结论：按三角形分布的载荷，其合力的大小等于三角形线分
6、布 载荷的面积，合力的作用线通过三角形的几何中心。,积分上式，得,15, 3.3 平面任意力系的平衡 3.3.1 平面任意力系平衡的必要与充分条件,平衡方程 基本形式,16,平面一般力系的平衡问题可以列出三个独立方程， 只能求解三个未知数。,3.3.2 平衡方程的其他形式,求： 求支座A、B处的约束力。,17,例 3-3,已知:外伸梁受一个力偶和一个集 中力作用，尺寸如图所示。,解：,1、选取梁作为研究对象。梁所受的主动力有力偶和集中力，约束力有A处的FAx、FAy以及B处的FB，假设三个未知力的方向如图所示。,2、对研究对象列平衡方程：,18,解以上三个方程，可得：,其中FAx和FAy的值为
7、负，说明其实际方向与假设 的方向相反。FB的值为正，说明其实际方向与假设的 方向相同。,求：固定端A处的约束力。,19,例 3-2,已知:置于铅垂平面内的T字形刚架，G=80 kN，M=30 kNm，F=200 kN，q0=20 kN/m，a =1 m。,解：,1、取T字形刚架为研究对象，其中 按三角形分布的载荷可由作用于三 角形几何中心的集中力F1=30 kN代 替。作用于A处的约束力有FAx、Fay 和约束力偶MA，假设的约束力方向 如图所示。,20,2、按图示坐标系列平衡方程：,解以上方程，可求得,其中约束力偶中的负号说明其实际转向与所设 转向相反，即MA应为顺时针方向。,21,设有F1
8、, F2 Fn 构成平面平行力系 建立坐标系，使x轴与各力作用线 垂直，则各力在x轴上的投影等于零 平衡方程 自然满足。这样平 面平行力系独立的平衡方程就只剩 下两个：,3.3.3 平面平行力系的平衡,平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。,求：平衡重G1及其至左轮距离x的取值范围。,22,例 3-5,已知:起重机，G=500kN，重心在两铁轨的对称平面内，最大起重量G2为200kN。为保证起重机在空载和满载时都不致倾倒。,解：,选取起重机为研究对象，其满载时的受力如右图所示。 1、满载时的情况。作用于起重机上的力有起重机本身重力G、平衡重G1、吊起物的重力G2以及钢轨约束力
9、FA和FB。这些力组成一个平面平行力系。,23,要使起重机满载时不向右倾倒，除满足平衡方程：,以外，还需满足 的限制条件。由上式,所以：,2、空载时。作用于起重机上的力有起重机自身重力G、平衡重G1以及钢轨约束力FA和FB。要使起重机在空载时不向左倾倒，除满足平衡方程：,以外，还需满足 的限制条件。由上式,24,得平衡重 ：,注意到 的条件，有,平衡重至左轮距离,物体系统：工程中的机构和结构通常是由若干物体通过一定的 约束组成的系统。,25,3-4 物体系统的平衡问题,3.4.1 物体系统,外力：系统以外的物体对于该系统的作用力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。,物体系统平
10、衡的特点： 取整个系统为研究对象时，对内力可以不予考虑。 整个物体系统平衡时，其中的每一物体也都处于平衡状态。 根据具体情况来确定，可以取整个系统作为研究对象，也 可以取系统中的某个或某几个物体作为研究对象。,26,3.4.2 静定与超静定的概念,静力学中，每一种平衡力系所对应的独立平衡方程的数目是一定的： 平面力偶系 一个独立方程，只能求一个独立未知数。 平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。 平面平行力系 同平面汇交力系 平面任意力系 三个独立方程，只能求三个独立未知数。,当：独立方程数目未知量数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目未知量数目时，是静不定问题（超静定问题）,
11、相应的工程结构称为超静定结构。未知量数目与独立平衡方程数目之差称为超静定次数。,27,图c所示的结构为一次超静定结构， 图d所示的结构为二次超静定结构。,图a、b所示为静定结构。,例,28,3.4. 3 物体系统平衡问题分析实例,求：A、B处的约束力和中间铰C所传递的力。,例 3-6,已知:组合梁由AC和CD组成，载荷及约束情况如图。F1=10kN，F2=8kN，均布载荷集度q=3kN/m，a=2m。,解：,1、在组合结构中，有的可以分成基本部分和附属部分。单靠本身就能承受载荷并保持平衡的部分称为基本部分；必须依赖于基本部分才能承受载荷并维持平衡的部分称为附属部分。该组合梁可视为由基本部分AC
12、和附属部分CD组合而成。对这类问题，通常先研究附属部分，再研究基本部分。,29,2、先取附属部分CD为研究对象，其受力如图所示。列平衡方程：,代入数据并求解，得,30,3、再取基本部分AC为研究对象，其受力如图所示，列平衡方程：,代入数据并求解，得,31,求：支座A、B处的约束力。,例 3-7,已知:三铰刚架，F=20kN，q=30kN/m，a=2m。,解：,1、对于一般情况，先取整体为研究对象，待求出部分约束力后再研究其中的一部分，以求出其余的约束力。 取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：,32,2、再取折杆CB为研究对象。对CB部分来讲，铰链C所传递的力属于外力，故应予以考虑。该部
13、分的受力如图所示。列平衡方程：,代入数据并求解，得,可解得,33,求：支座A、B处的约束力。,例 3-8,已知:已知力F和尺寸a，各构件重量及摩擦不计。,解：,1、先取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：,解得：,MB(F) = 0， FAy2a Fa = 0 Fy = 0, FAy + FBy F = 0 Fx = 0, FAx + FBx = 0,34,2、再研究杆EH，其受力如右图所示，由：,代入数据并求解，得,MC(F) = 0， FE a sin45Fa = 0,解得：,3、最后研究杆AD，其受力如右图所示，由：,MD(F) = 0， FAx2a FAy2a FE a=0,35
14、,求：当机构平衡时作用在滑块D上的水平力F的值。,例 3-9,已知: a=0.1m，l=0.5m， , 。,解：,本题属于求机构平衡时主动力之间关系的问题。对这类机构进行受力分析时，通常是由已知到未知依传动顺序选取研究对象，逐一求解。 1、首先以曲柄OA为研究对象，其受力如图所示，列平衡方程：,解得：,36,2、再取杆CB 、BD和滑块D的组合为研究对象，其受力如图所 示。考虑到杆CB为二力杆，故C处的约束力FC沿CB方向。为简 化计算，将各力对FC和FD的交点E取矩，有：,代入数据并求解，得,37,3-5 平面桁架,3.5. 1 平面桁架的假设,桁架：由若干杆件在两端用铰链连接而成，且所有载
15、荷都作用 在节点上的结构。各杆件轴线都处在同一平面内的桁架 称为平面桁架。,平面桁架的假设： 1、各杆在两端用光滑铰链彼此连接。 2、各杆的轴线平直且在同一平面内，并通过铰链的几何中心。 3、载荷和支座约束力都作用在节点上，且位于桁架的平面内。 4、各杆件自重或忽略不计，或平均分配在杆件的两端节点上。 桁架中的杆件均可视为二力杆，只承受拉力或压力作用。,求桁架内力常常采用节点法和截面法。,38,解：首先以桁架整体为研究对象，求出支座约束力。桁架受力如图所示，对整体列平衡方程,3.5.2 节点法,通过依次取各节点为研究对象，利用平面汇交力系的平衡条件求出各杆内力的方法称为节点法。,试求：图中所示桁架各杆的内力。,例3-10,解上述方程，得：,39,由于本桁架结构及其所受外力都对称于中线ED，各相应对称杆件的内力必然相等。因此，只计算中线ED左侧各杆的内力即可。 取节点A 为研究对象。假设杆AC和AD均受
