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1、第7章 IIR滤波器的设计,7.1 引言 7.2 模拟滤波器的原型 7.3 模拟数字滤波器变换 7.4 频率转换 7.5 IIR滤波器的设计技术 7.6 典型IIR滤波器的比较,7.1 引言,7.1.1 设计过程,数字滤波器的设计过程一般可分为三个阶段或步骤：,设计系统参数的性能指标 设计满足系统性能指标要求的传输（传递）函数 用滤波器设计软件或硬件实现该传输函数,7.1.2 数字滤波器的设计考虑,数字滤波器的设计主要有两种互不相同的方法。,如果系统相位的线性度要求不很严格，则无限冲激响应数字滤波器（IIR）将对给定的设计指标产生一个相对较小的滤波阶数。,FIR滤波器具有线性相位（无相位失真）
2、，它的设计基础在于选择一个对称冲激响应序列，使其长度符合设计指标的要求。,7.1.3 IIR滤波器设计,设计IIR数字滤波器有两种相关的方法。一种（常用的）方法是建立在已设计好的模拟低通滤波器的基础上，通过映射将模拟滤波器转变为数字滤波器。另一种方法是基于直接设计技术，它要用到模拟（或其它）滤波器的近似数学等价条件。,7.1.4 相对线性尺度,基于幅度平方响应的模拟低通滤波器的技术指标由图7-1给出。,设,是一个模拟低通滤波器的频率响应函数，则基于,幅度平方响应的系统性能指标为,(7-1),式中,为通带波动系数，,是单位为弧度/秒的通带截止,频率,A为阻带衰减参数，,，,是单位为弧度/秒的阻带
3、衰减频率。,图7-1给出了模拟低通滤波器的性能指标要求。,图7-1 模拟低通滤波器的性能指标要求,由图7-1可知模拟低通滤波器的幅度平方响应,必须满足：,(7-2),参数,、A,（以dB为单位）与参数,（通带允许最大衰减）、,（阻带允许最小衰减）相关，其关系为：,或,(7-3),滤波器波纹系数,、,的绝对量与,和,A相关，其关系为：,7.1.5,的性质,（ 7-1）式给出的模拟低通滤波器的性能指标是以幅度平方响应的形式表现，它不包含任何相位信息。,为在,s域计算系统函数,，考虑到：,则有,或有,(7-4),所以，幅度平方函数的零、极点关于,轴成镜像对称分布。,图7-2,的零、极点分布,7.2
4、模拟滤波器原型,7.2.1 巴特沃思（Butterworth）滤波器,巴特沃思低通滤波器的幅度平方响应函数为：,（7-5）,式中，,为滤波器的阶数，,是,带宽，也就是,滤波器的通带宽度或截止频率（单位：弧度/秒）。,当,时，有,，或,，故有：,因此，巴特沃思滤波器的幅度平方响应随,变化的曲线图7-3,所示。,图7-3 巴特沃思低通滤波器的幅度平方响应,由图7-3可知，巴特沃思滤波器的幅度平方响应具有下列性质：,是,的单调减函数。,时,逼近理想低通滤波器,在通带内具有最大平坦度，且随频,率,升高呈单调下降。,传输函数没有零点。,1.,2.,3.,4.,为了确定系统函数,，根据幅度平方函数，可以得
5、到：,从上式可知，,的,个极点等间隔地分布在半径为,的圆上，即：,，,（7-6）,观察（8-6）式我们会发现系统函数,的极点具有如下特性：,由2N个极点以等间距,弧度分布在半径为,的圆上，且关于,对称分布。,N为奇数时，极点为：,N为偶数时，极点为,1.,2.,3.,虚轴上没有极点分布，但当N为奇数时实轴上有极点分布。,4.,如果我们配置系统的极点在s的左半平面，就将获得一个因果稳定的低通巴特沃思滤波器的系统函数,图7-4 三阶和四阶巴特沃思滤波器的极点分布图,例7.1 若设巴特沃思滤波器的幅度平方响应为,，试确定它的系统函数,。,解：根据已知的系统幅度平方响应，有：,显然此时有,N=3，,。
6、则根据（7-6）式，可求出,的极点分布如图7-5所示。,图7-5 例7-1的极点分布,因此,如果给定模拟低通滤波器的技术指标为,（通带截止频率，,单位弧度/秒），,（阻带衰减频率，单位弧度/秒），以及,（阻带允许最小衰减）和,（通带允许最大衰减），,求出系统的阶数,N和截止频率,当,时，有,（7-7）,或,，有,（7-8）,求解（7-7）和（7-8）两个方程，得到,N和,一般情况下，式中,N不为整数。若需N为整数，,则可对上式右端,取它的正舍入。,具体处理上，为了能在,和,处较好地满足需求，可,分别取,（7-10）,以及,（7-11）,例 7.2 要求设计一个满足如下指标的巴特沃思低通滤波器。
7、,通带截止频率：,通带波动：,阻带截止频率：,阻带波动：,解：根据（7-7）,为了在,和,处较好地满足需求，可根据（7-8）、,（7-9）分别取,和,现在可0.4985 0.5122之间选择一个,。,7.2.2 切比雪夫（Chebyshev）滤波器,I型低通切比雪夫滤波器N阶幅度平方响应为：,(7-12),式中N为滤波器的阶数，,为通带波纹系数，它与,有关，,是N阶切比雪夫多项式，定义为,(7-13),现对切比雪夫多项式,，令,则有,因此切比雪夫多项式,可写成,(7-14),根据三角恒等式，有,整理后得到,与(7-14)式比较，可得,(7-15),上式就是切比雪夫递推公式。用它可求任意阶的切比
8、雪夫多项式。,切比雪夫多项式具有如下性质：,N为偶数时，,偶次式；N为奇数时，,奇次式。,当x在,内变化时，切比雪夫多项式的值在,间变化，呈现等波纹波动特性。,当,时，,单调增至,当,时，用下式表示切比雪夫多项式更为方便：,(7-16),事实上，当我们将(7-13)和(7-16)视为复变函数时，两者是等价的。,1.,2.,3.,当滤波器的阶数N取奇数或者偶数时，分别对应N阶切比雪夫滤波器的幅度平方函数,的两种可能形状。,图7-6 低通切比雪夫滤波器的两种可能的响应,由图7-6，我们可看出,的几个性质：,当,（或,）时，若N为奇数，有,若N为偶数，有,当,（或,）时，对所有的N有,1.,2.,当
9、,（或,）时，,在,1和,之间振荡起伏。,3.,当,（或,）时，,单调下降到0。,4.,当,时，,5.,由（7-12）式可知，切比雪夫滤波器没有零点，一旦系统的阶次确定，极点分布就可按下式求出（只求左半平面极点）：,令,代入（7-12），并设分母等于零，即,解上式方程可得系统函数极点的分布为,（7-17）,由上式可得,（7-18）,上式是一个在s平面上的椭圆方程，它的短轴和长轴分别位于s平面的实轴和虚轴上，系统函数,的极点分布在椭圆的圆周上。,切比雪夫型滤波器,它的幅度平方响应为,（7-19）,切比雪夫型滤波器的系统函数为,（7-20）,极点位于,其中，,，,是切比雪夫型滤波器的极点。,零点,
10、位于,轴上，在这些频率点上,。,7.2.3 椭圆滤波器,椭圆滤波器的系统函数即有极点也有零点，其幅度平方响应是：,（7-21）,其中，,为N阶雅可比（,）椭圆函数，它有性质：,（7-22）,满足一组给定技术指标的滤波器阶数可以用下式计算：,（7-23）,式中,是第1类完全椭圆积分，定义为,而,7.2.4 滤波器原型的相位响应,7.3 模拟-数字滤波器变换,7.3.1 脉冲响应不变法,脉冲响应不变法是基于对模拟滤波器脉冲响应的采样序列来设计,数字滤波器的。,现设以采样间隔,T对模拟滤波器的脉冲响应进行采样得到脉冲响应,序列,h(n)，即,又因为模拟频率（,）和数字频率（,）的关系已知为：,或,则
11、在单位圆上及虚轴上分别有,和,，因此从s平面,到z平面的变换为：,（7-24）,根据频域混叠公式（3-42），系统函数,H(z)和Ha(s)的关系为：,在（7-23）式的映射关系下，,平面到,平面的映射示于图9-11。,图7-7 脉冲响应不变法中的复平面映射,应用脉冲响应不变法将模拟滤波器映射成数字滤波器的设计过程是,首先设计一个模拟滤波器，,然后根据给定的数字低通滤波器技术指标,、,、,和,，将其映射成所期望的数字滤波器。整个过程可,分为：,确定采样间隔T并选择系统的模拟频率,和,根据系统性能指标,，,，,和,，设计模拟滤波器的,系统函数,用部分分式展开,，即,1）,2）,3）,4) 上式的
12、脉冲响应为,采用脉冲响应不变法把模拟极点,pk转换成数字极点,可得到数字滤波器的系统函数为：,（7-25）,7.3.2 双线性变换法,双线性变换是从模拟频域,到数字频域,的一对一的映射，定义为：,（7-26）,若将上式理解为从s平面到z,平面的映射，则式（7-26）又,可定义为：,（7-27）,式中的T是一个定标参数，可设为任意值，因,为它只是对下面给,出的频率畸变函数中的,轴进行定标，一般不参与设计过程。,模拟频率与数字频率由下式联系：,（7-27a）,式(7-26)的复平面映射如图7-8所示。,图7-8 双线性变换中的复平面映射,现在给定数字滤波器的技术指标为,和,，要求确定,数字滤波器的
13、,系统函数,H(z)，则我们可以按如下步骤设计数字,低通滤波器：,用公式(7-28)的反函数对数字滤波器的通带和阻带截止频率,和,进行预失真（畸变）处理，,确定模拟低通滤波器的通带和,阻带截止频率,。因为T可以任意取值，故取,时的预,失真函数为：,1.,设计模拟滤波器,，使之满足技术指标,和,.,将双线性变换应用到步骤2设计的滤波器中,即令,2.,3.,（7-29）,化简得到关于,的有理函数H(z)。,例7-3 设计一个一阶数字低通滤波器。,设它的,截止频率,，应用双线性变换于模拟巴特,沃思滤波器,.,解：数字滤波器的截止频率已知为,，则对应的巴特沃兹,滤波器的,截止频率,为：,因此模拟滤波器
14、的系统函数为：,将双线性变换应用于该模拟滤波器，有,注意，参数T未参与具体的计算。,7.4 频率转换,图7-9 频率选择性滤波器的典型指标（a）低通（b）高通（c）带通（d）带阻,有两种方法可以设计其它类型的频率选择性数字滤波器。,一种方法是首先设计一个模拟低通滤波器原型，然后用频率转换将模拟滤波器映射为期望的频率选择原型，再用s平面到z平面的某种映射关系将模拟原型映射为数字滤波器。,表7-1,截止频率为,的模拟低通滤波器到其它频率选择性滤波器的转换,另一种实现方法是首先设计一个模拟低通滤波器原型，然后用s平面到z平面的映射关系将模拟滤波器映射为数字滤波器，最后在离散时间域用某个适当的频率转换
15、产生期望的频率选择数字滤波器。,表7-2 截止频率为,的数字低通滤波器到其它频率选择性滤波器的转换,7.5 IIR滤波器的设计技术,一般而言，设计实现IIR滤波器的技术路线是，,首先根据滤波器的,技术指标设计一个频率响应函数为,的模拟原型滤波器，然后,选择一个在特性上最为接近该模拟滤波器特性的数字滤波器。,为有一个好的逼近，所设计的数字滤波器的频率响应函数,应该满足一个匹配条件，即当,时，,.,畸变（或预失真）的计算如下：,在式(7-29)中令,，则：,（7-30）,由于双线性变换的反变换是将单位圆映射到虚轴,上，,因此点,必等于,上的某些点，也就是,说,。显然，对某些确定的,取值，有：,（7-31）,式（7-31）的反函数是：,（7-32）,因此，如果,是具有传输函数,的模拟滤波器的截止频率,，则对应的离散传输函数,的截止频率,就为：,源自期望值,的畸变量取决于,的大小。如果,足够小，显然有,，从而,，在这种情况下，畸变量将很小。,预失真模拟截止频率,应取为：,（7-33）,7.5.1 噪声抑制应用,双极点低通滤波器可用于抑制离散信号中包含的高频噪声。,7.5.3 基于MATLAB函数的IIR滤波器设计技术,一、MATLAB滤波器设计函数,基于IIR滤波器的特性，读者必须首先理解滤波器
