数学建模的技术和方法

《数学建模的技术和方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模的技术和方法（90页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、数学建模的技术和方法,什么是建模？ 纸飞机 共产主义-列宁 数学建模,模型入门,数学建模是可以学习的； 初学者需要观察，然后尽可能快地成为实际过程而受益； 计算机与数学。,一、建模指标的设定 二、基本概念的理解 三、建立模型的联想 四、数学建模的过程,围棋是东亚人民喜爱的智力活动, 长久以来, 人们一直认为1919361个点所构成的网状存在着许多奥妙和争论。其中之一是关于贴目问题：中国贴 子，日本贴5目半，应氏规则贴7目，都共存于各项比赛中。当然还有一个更令人瞠目的问题：为什么围棋盘是十九行、十九列呢? 你会说对称，否则一长一宽没有趣味了。那么为什么是十九呢? 有老人解释说：十二星宿加上北斗七

2、星。但这哄孩子可以，哄你大概不行，你可能会刨根向底问个不休。,1、设计围棋的指标,围棋的两个竞赛对策是成活、围空。我们先来讨论成活，若比较在各线上成活速度 (即用最少的子来得到必活的棋形)，我们有：,1、设计围棋的指标,这说明从成活的角度讲，三线的价值很大，再比较围空，我们定义围空的效率(即所围的目数/所用的棋子), 则有 ， ， ， 。 因此从围空的角度而言，四线是唯一可以和三线竞争的下法。当然围棋界有“金角、银边”等说法。 当然，从体育竞争和游戏的角度而言，要使双方比赛精彩激烈，走三线和四线的价值要尽量接近 (细微的部分可采用贴目方式进行)。,1、设计围棋的指标,假设围棋有n行、n列。由于

3、走四线、围中空要有价值，所以n不能太小；另外由于围棋子也不能太多，所以n不能太大，不妨设11 n30(40?)。我们要使得走三线的价值 和走四线的价值 的值尽量接近，记： ，这里,注意 是关于n的减函数.,1、设计围棋的指标,得y=5.2(目),这又解释了中国规则和日本规则,可导，且已知n11，故 导数为正，这时 为增函数，于是E(n)为增函数。由介值定理关于E(n)=0只有一个解，考虑 E(18)=0.1888，E(19)=0.092， 这样在(18, 19)之间必有一根，最接近这个根的是E(19), 这样问题1意外地解决了。,问题1的解决极大地鼓舞我们继续考虑贴几目地问题，当n19时， 。

4、这说明四线围空效率稍高，需贴目。假设贴y目, 则有,1、设计围棋的指标,那么应氏规则又从何说起呢? 在我们所建立的模型里四个 “三三”和四个“四四”的点对 围空未起到本质的作用，只能算作实子或防止对方切断的一手，于是所用棋子可减四目，于是有：,所贴目数为：,得到：z7，这与应氏规则是相近的。,1、设计围棋的指标,一个股份公司通常由若干个股东组成，如果某一个股东想占据该股份公司的领导地 位，那么一个熟悉的想法是该股东控制超过 50%的股权。但事实却是有许多股份公司的领导者并没有控制那么多。例如在 2005年盛大互动娱乐有限公司收购新浪股份时，所收购的股本数只占总股本数的 19.5%,却实现了成功

5、收购。,2、设计“实力”的指标,另一个例子是美国通用汽车公司的第一大股本福特家族也只占有该公司 15%的股本。但也控制了整个公司。 这样，一个自然而然的问题是：如何估计某种势力在股东大会中所在的“权重”？,2、设计“实力”的指标,在原来我们所认为需50%的想法中。隐含着这样一个前提，即其他的股东都是您的反对者，这是一个极端的情形，也是我们一种自我孤立的意识在作怪。 这样我们开始转换思维，考虑联盟的情形，这也符合实际，一部分股东因某种共同利益而实行联合。,2、设计“实力”的指标问题的分析,首先我们介绍加权多数对策： 设g,w1, w2, , wn，这里有n个股东，用wi是表示股东i所持有股本，假

6、定是非负的。设N=1, 2,n 是所有股东集合，N的一个子集S称为股东联盟。一个股东联盟赢得一次表决，是指 wi1+ wi2+ wik g 这里S =i1,i2,ik,2、设计“实力”的指标数学的分析之一,这一部分我们将会认同这样一个现实：占有更多的股本并不一定增加其势力（当然不会减少），也不一定是以一种正比例方式增加其势力。,2、设计“实力”的指标若干实例,“哑元” 现象 在对策 50；51,14,13,12,10中第一个股东无需他人合作即可取胜，因而股东 2,3,4,5尽管持有股本，但势力为 0 ，这时称股东2,3,4,5为“哑元”。 这时观察对策51；26,26,26,22，最后一个股东

7、也是毫无势力的，因为任何一个取胜联盟若含有他，那么去掉他时联盟依旧能取胜。因此最后一个股东也是“哑元”。,2、设计“实力”的指标实例一,同等势力 在对策 2；1,1,1， 50；49,48,3 中的势力是相同的，因为他们给出相同的取胜联盟。其中第三个对策说明了位居第三的小股东也有潜在的价值。,2、设计“实力”的指标实例二之一,如果将这一想法应用于政治，也可以解释为什么大富翁佩罗会两次参加美国总统的选举。尤其是他第一次参加的布什、克林顿、佩罗的三人选举中（假设为50；49,48,3）。通过此获取的势力，嬴得了数倍投资于竞选的资本。,2、设计“实力”的指标实例二之二,建模分析,在对策g,w1, w

8、2, , wn中定义gi为第i个股东的势力指标，它需满足以下五点： gi 0； gi =0当且仅当i是哑元； 若i与j在取胜联盟中地位相同，则gi = gj ； 若wi wj ，则gi gj ； g1+g2+ + gn =1。,2、设计“实力”的指标数学的分析之二,Shapley_Shubik指标 ：,2、设计“实力”的指标数学的分析之三,对策51;40,30,20,10的四个股东1,2,3,4共有下面24种排列“*”表示该股东在取胜联盟中是关键人。 12*34 21*34 31*24 412*3 12*43 21*43 31*42 413*2 13*24 231*4 321*4 421*3

9、13*42 234*1 324*1 423*1 142*3 241*3 341*2 431*2 143*2 243*1 342*1 432*1,2、设计“实力”的指标数学的分析之四,于是我们得到 g1= g2= g3= g4=,2、设计“实力”的指标数学的分析之四,股份公司中的大股东 设一公司有一大股东A，他控制着40%的股票，假设其余的股票平均分配在另外60个股东手中，每人占1%。通过一项决议需50%的赞成票。这时通过计算这个对策中的Shapley-Shubik势力指标，该大股东的势力为40/61。现仍假设A控制着40%的股票，但其余的股票平均分配在另外600个股东手中，每人占0.1%，此时

10、A的势力为400/601。而且随着小股东人数的不断增大，A的势力份额将趋于2/3。这个例子解释了为什么收购一个股份公司，并不一定占据50%的股票。以盛大互动娱乐有限公司收购新浪股份为例，盛大只控制了19.5%的股票，而其余股东，最大的不过占据了4.96%的股票。这就是一个有趣的例子。,2、设计“实力”的指标案例的分析之一,“团结并不永远意味着力量” 在实际生活中，人们经常以搓草绳为例来告诫人们，一根稻草微不足道，一拉就断。但搓成草绳后却力量大增，从而得出结论：团结就是力量。这样在二次大战后，在欧洲大陆，形成了北大西洋公约组织和华沙条约组织这两个集团势力。但1955年，周恩来总理在万隆会议上提出

11、的著名的“和平共处”五项原则中有一条“独立自主”的口号，这从表面上看似乎与“联盟”存在着差异。但在这里我们将通过一个实例，试图给出“独立自主”的诠释。,2、设计“实力”的指标案例的分析之二,假设一个对策为5;3,3,1,1,1，另一个对策将3个1形成联盟成为对策5;3,3,3。注意到前一个对策的Shapley_Shubik势力指标为3/10,3/10,4/30,4/30,4/30 。而后一个对策的Shapley_Shubik势力指标为1/3,1/3,1/9,1/9,1/9 。后一个对策分配到每个1所占的势力为1/9。哦！ “独立自主”使您的势力增大。 请您记住，“独立自主”也是一种很好的外交手

12、段，尤其是没有占据主导地位的时候。,2、设计“实力”的指标案例的分析之二,联合国安理会的例子 现在的联合国安理事会由五个常任理事国（中国、美国、英国、法国、俄罗斯）和十个非常任理事国组成。每个理事国成员都具有否决权，而十个非常任理事国每两年轮流变动一次。在安理会中通过一项决议需有九票以上，其中五个常任理事国需全部投赞成票，再加上至少四个非常任理事国投赞成票。,2、设计“实力”的指标案例的分析之三,对于这一对策系统，记为： g; a, a, a, a, a, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b 根据已知条件： 5a+4b=g, 4a+10b6b. 于是可令 b=1,a=7.

13、 这样求得 g=39. 对于 39;7,7,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2、设计“实力”的指标案例的分析之三,这一对策可求得对每个常任理事国其势力指标为 0.1963； 而每个非常任理事国的势力指标为 0.001863。,2、设计“实力”的指标案例的分析之三,现在的联合国安理会的组成模式形成于1963 年。在1963 年之前，安理会是由五个常任理事国和六个非常任理事国组成，通过一项决议需七票以上，其中五个常任理事国全部投赞成票。再加上至少两个非常任理事国投赞成票。,2、设计“实力”的指标案例的分析之三,提示：对于这一对策，用上面类似的方法可以求得对策系统是 27;5,5

14、,5,5,5,1,1,1,1,1,1， 同样可求得1963年之前每个常任理事国的势力指标为0.1974。每个非常任理事国的势力指标为 0.002165。这表明对于1963年的改革。使得安理会理事国成员的势力指标下降了。,2、设计“实力”的指标案例的分析之三,现在有一个设想，即将来的安理会组成中，增加德国、日本、印度和巴西这四个国家作为常任理事国，具有否决权，这些国家有的现在对联合国的经济资助已超过法国和英国，有的人口众多。请您设计将来的安理会所组成的这一对策，并求得常任理事国和非常任理事国的势力指标。,2、设计“实力”的指标案例的分析之三,一、建模指标的设定 二、基本概念的理解 三、建立模型的

15、联想 四、数学建模的过程,二、基本概念的理解 2.1、二阶导数,1998年月底，印度的人民报头版头条报道了印度国防部长提出的：中国威胁论，并抱怨议会削减了国防预算。但是，正如印度在野党的议员在1998年5月27日所反驳的：议会仅仅只是削减了国防预算增长的变化率。,用数学的话来说，预算的一阶导数仍然是正的（即预算仍旧是增长的），只是二阶导数为负了（即预算的增长率变缓了）。 同样，在2003年非典时期，4月20日前用的词语是“控制”， 4月20日后用的词语是“遏制”，请问您理解这两个词语的差别吗？,2.1、二阶导数,另外，萨缪尔逊在经济学中的一段话（设“总效用”指的是对消费某些商品的总的满意程度）：当消费同类商品时，总效用（心理上）就会增加，但是，随着新的商品的不断涌现，你的总效用会按照越来越慢的速度增长，这是一个根本倾向促成的，即你鉴赏更多的商品的心理能力变的更迟钝。,2.1、二阶导数,2.1、二阶导数,进一步的例子： 已知可微函数 的图像如 右图，问： (1) 的图像； (2) ( )的图 像。,2.2、基础解系,在城市中，不时听到人们抱怨塞车，这也成为不少城市的“一景”。下面的例子一方面给出了交通堵塞的部分数学解释，另一方面也给基础解系一个生动的刻划。,例：设一个“井”字形环