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1、第三章 RLC电路的特性,第三章 RLC电路的特性,3.1 动态电路的方程及其初始条件 3.2 动态电路求解三要素法 3.3 RC一阶电路在脉冲电压作用下的暂态过程 3.4 RC一阶电路在正弦信号激励下的响应 3.5 小结和讨论,3.1.1 动态电路的方程 对于含有一个电容和一个电阻，或一个电感和一个电阻的电路，当电路的无源元件都是线性的且不变时，描述电路参数的方程是一阶线性常微分方程，相应的电路称为一阶电阻电容电路（简称RC电路），如图3-1（a）所示，或一阶电阻电感电路（简称RL电路），如图3-1（b）所示。,动态电路的一个特征是当电路的结构或元件的参数发生变化时，可能会使原来电路的工作状
2、态发生改变，这种改变需要经历一个过程，动态电路所经历的变化过程称为暂态过程，或过渡过程。 动态电路的经典分析法是：根据KVL和KCL建立描述电路参数变化的微分方程，然后求解该微分方程，确定电路的参数随时间变化的函数关系。,3.1 动态电路的方程及其初始条件,【例3-1】试分别求出图3-2（a）、（b）两电路的开关S从2拨向1，当电路处在稳态以后，又从1拨向2这两个动态过程，电容两端的电压uC和电感上的电流iL随时间变化的函数关系。,【解】开关S从2拨向1由KVL可得,当开关S从1拨向2以后，电压源US加在RC电路上，RC电路的电流和电压又将发生变化，利用KVL可得,令=RC，称为时间常数,对于
3、RL电路，当开关S从2拨向1以后，利用KVL可得,当开关S从1拨向2以后，利用KVL可得,%求解一阶微分方程的程序 uc=dsolve(Duc/uc=-1/(R*C) %解电容放电的微分方程 IL=dsolve(DIL/IL=-L/R) %解电感放电的微分方程 uc1=dsolve(Duc1/(Us-uc1)=1/(R*C) %解电容充电的微分方程 IL1=dsolve(DIL1/(Us/R-IL1)=L/R) %解电感充电的微分方程,该程序运行的结果为 uc =C1*exp(-1/R/C*t)； IL =C1*exp(-L/R*t)； uc1 =Us+C1*exp(-1/R/C*t)； IL
4、1 =Us/R+C1*exp(-L/R*t),上面四个式子中都有一个积分常数A，该常数可由电路的初始条件来确定，电路的初始条件可以根据电路在换路瞬间所处的状态来确定。,3.1.2 换路定则及初始值的确定 1换路 任何电路在特定的条件下都处于一种稳定的状态，在这个状态下，如果电路中的电源、元件的参数、电路的结构或工作状态发生了变化，则该电路将由原来的状态转换为另一种状态。这种因电路结构或参数的变化所引起的电路变化统称为“换路”。,2换路定则及初始值的确定,由换路定则确定了uC(0+)或iL(0+)初始值后，电路中其他元件的电压、电流的初始值可按以下的原则来确定,（1）换路瞬间，电容元件当作恒压源
5、。如果uC(0-)=0，则uC(0+)=0，电容元件在换路瞬间相当于短路。,（2）换路瞬间，电感元件当作恒流源。如果iL(0-)=0，则iL(0+)0，电感元件在换路瞬间相当于开路。,（3）运用KCL、KVL及直流电路中的分析方法，可计算电路在换路瞬间其他元件的电压、电流的初始值。,【例3-2】利用换路定则确定例3-1解中的积分常数。,【解】根据换路定则可得开关S从2拨向1时的初始条件为,根据换路定则可得开关S从1拨向2时的初始条件为,% 画动态电路电压、电流随时间变化的波形图 Us=10;Is=10;T1=0.5;T2=0.25; t=0:0.1:3 uc1=Us.*exp(-t./T1);
6、 subplot(2,2,1),plot(t,uc1); xlabel(t);ylabel(uc(t);title(电容放电曲线); iL1=Is.*exp(-t./T2); subplot(2,2,2),plot(t, iL1); xlabel(t);ylabel(iL(t);title(电感放电曲线); uc2=Us.*(1-exp(-t./T1); subplot(2,2,3),plot(t,uc2); xlabel(t);ylabel(uc(t);title(电容充电曲线); iL2=Is.*(1-exp(-t./T2); subplot(2,2,4),plot(t,iL2); xla
7、bel(t);ylabel(iL(t);title(电感充电曲线);,根据电容C或电感L放电过程的曲线和电路可见，该过程所描述的状态都是动态电路在没有外加激励信号的时候，由电路中动态元件的初始储能所引起的响应，这种响应称为零输入响应。 根据电容C或电感L充电过程的曲线和电路可见，该过程所描述的状态都是动态电路在没有初始储能的情况下，由外加激励信号US或IS所引起的响应，这种响应称为零状态响应。 零输入响应和零状态响应的和称为动态电路的完全响应。,【例3-3】确定图3-4所示电路开关S闭合后各支路电流和电压的初始值。设开关S闭合前电容元件和电感元件上均未储存能量,【解】先求出S闭合终了前瞬间各电
8、流和电压的初始值，根据已知条件在t=0-的瞬间，因开关S未闭合，电容和电感上均未储能，所以，uC(0-)=0，iL(0-)=0，可将电容作短路处理，电感作开路处理，由此可得t=0-瞬间的等效电路，如图所示。由图可见，除US=10V外，所有元件上的电压和电流均为零。,从计算的结果可见，换路瞬间电容上的电流和电感两端的电压不等于0，发生了突变；而电容两端的电压和电感上的电流等于0，不发生突变。,3.2动态电路求解的三要素法 由上面的讨论可知，一阶电路电容两端电压和电感上的电流随时间变化的函数关系式是,反映了一阶电路任何一种暂态过程的响应，不论RC电路还是RL电路都适用。我们把换路瞬间的初始值f(0
9、)、换路后的稳态值f()和换路后的电路时间常数称为求解一阶电路的三要素。,例如当开关S从1拨向2以后，将三要素uc(0)=0，uc()=US，=RC代入三要素方程可得,当开关S从2拨向1以后，将三要素uc(0)=US，uc()=0，=RC代入三要素方程可得,【例3-4】如图3-6所示的电路，在t=0时，开关S闭合，求电容两端的电压随时间变化的函数关系式。,由图可得电路的三要素为：uc()=US0，uc(0)=0，=R0C,式中的US0和R0分别为,根据三要素公式可得,【例3-6】如图3-10所示的电路，在t=0时，开关S闭合，求电容上的电流随时间变化的函数关系式。,uC(0)=0，,描述脉冲信
10、号的主要参数有如下几个。,脉冲幅度U：脉冲电压的最大变化幅度。,脉冲周期T：周期性重复的脉冲序列中，两个相邻脉冲之间的时间间隔。,脉冲宽度tW：脉冲信号在一个周期内，脉冲幅度U所持续的时间。,占空比q：脉冲宽度和脉冲周期的比值，即,3.3 RC一阶电路在脉冲电压作用下的暂态过程,3.3.1 微分电路 图所示的电路，在脉冲信号的作用下，当电路的时间常数tW（一般取0.2tW）时，电路充、放电的过程将进行得很快，输入和输出信号如图示波器屏幕上的波形所示。,输出信号是输入信号的微分，所以该电路称为微分电路。方波信号经微分电路后输出为双向的尖波信号。双向的尖波信号去掉一半以后，成为单向的尖波信号，该信
11、号在脉冲数字电路中用做触发信号。,3.3.2 RC（阻容）耦合电路 图所示的电路，当电路的时间常数不满足tW的条件时，输入和输出信号的波形如图3-14示波器屏幕所示的形式,在图所示的电路中，输入信号的周期T=1ms，脉宽tw=0.5ms，电路的时间常数=1ms，满足tW的条件，图所示的RC电路中的电容，在电路中只起到“通交流”、“阻直流”的耦合作用，输出信号的波形等于输入信号，具有这种特性的RC电路称为阻（电阻）容（电容）耦合电路。,3.3.3 积分电路 如果将RC电路连成图所示的形式，当电路的时间常数tW时，RC电路对脉冲信号的作用将转化为积分的作用，输入-输出信号的波形如图示波器屏幕所示的
12、形式。,由上式可见，输出信号是输入信号的积分，所以该电路称为积分电路。 在图所示的电路中，输入信号的周期T=1ms，脉宽tw=0.5ms，电路的时间常数=1ms，满足tW的条件，图所示的电路为积分电路。方波信号经积分电路后输出为三角波信号，三角波信号在电子技术中被广泛应用。,由上面的讨论可知，同样是RC电路，因为信号的输出端不同，可以组成微分电路（从电阻两端输出），也可以组成积分电路（从电容两端输出）；因为参数选择的条件不同，可以组成微分电路（tW的条件）。,3.4 RC一阶电路在正弦信号激励下的响应 所谓的滤波器就是能够让指定频段的信号顺利通过，而将其他频段的信号衰减掉的电路。,3.4.1
13、RC低通滤波器 1电路的组成 所谓的低通滤波器就是允许低频信号通过，而将高频信号衰减的电路，RC低通滤波器电路的组成如图所示,2电压放大倍数 在电子电路中，将电路输出电压与输入电压的比定义为电压放大倍数,用Au来表示,或称为传递函数.,对上式取对数可简化计算，利用对数来描述的 ,定义为对数传输单位贝尔（B）。,在实际上通常用贝尔的1/10为计量单位，称为分贝（dB）。即，1B=10dB。,因为 ，所以对于等电阻的一段电路，贝尔也可以用输出电压和输入电压的比来定义。,当电压放大倍数用dB作单位来计量时，常称为增益。根据增益的概念，通常将对信号电压的放大作用是100倍的电路，说成电路的增益是40d
14、B，电压的放大作用是1 000倍的电路，说成电路的增益是60dB；当输出电压小于输入电压时，电路增益的分贝数是负值。例如，-20dB说明输入信号被电路衰减了10倍。,（1）当f等于通带截止频率fP时,由上式可得通带截止频率fP的物理意义是：因低通电路的增益随频率的增大而下降，当低通电路的增益下降了3dB时所对应的频率就是通带截止频率fP。若不用增益来表示，也可以说，当电路的放大倍数下降到原来的0.707时所对应的频率。对于低通滤波器，该频率通常又称为上限截止频率，用符号fH来表示。根据fP的定义可得fH的表达式为,4低通滤波器的波特图 利用对数传输单位，可将低通滤波器的幅频特性写成,(2),当
15、f10fP时，幅频特性的 项比10大，公式中的1可忽略，幅频特性为,式说明频率每增加10倍，增益下降20dB，说明该电路对高频信号有很强的衰减作用，在幅频特性曲线上，3-27式称为-20dB/十倍频线。,（3）当f0.1fP时，幅频特性的 项比0.1小，可忽略不计，幅频特性为0dB。说明该电路对低频信号没有任何的衰减作用，低频信号可以很顺利地通过该电路，所以该电路称为低通滤波器。,图中，第一张波特图仪面板上的图形是低通滤波器的幅频特性，第二张波特图仪面板上的图形是低通滤波器的相频特性。,RC高通滤波器和低通滤波器电路的主要差别是在输出电路上,3.4.2 RC高通滤波器 1电路的组成 所谓的高通
16、滤波器就是允许高频信号通过，而将低频信号衰减的电路，RC高通滤波器电路的组成如图所示。,2电压放大倍数,3高通滤波器的波特图 高通滤波器的幅频特性写成,（1）当f=fP时,（2）当f0.1fP时，式3-31中的 项比10大，公式中的1可忽略，结果也是一条（-20dB/十倍频）线，说明该电路对低频信号有很强的衰减作用。,（3）当f10fP时，式3-31中的 项比0.1小，可忽略不计，结果为0dB。说明该电路对高频信号没有任何衰减作用，高频信号可以很顺利的通过该电路，所以该电路称为高通滤波器。,第一张波特图仪面板上的图形是高通滤波器的幅频特性，第二张波特图仪面板上的图形是高通滤波器的相频特性。,%画低通和高通滤波器波特图的程序 x=0.0000001:0.01:3; y1=abs(1./(1+i*x);
