《高考一博（全面突破）2014高考数学最新一轮复习必考题型巩固提升2.2函数的单调性与最值学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考一博（全面突破）2014高考数学最新一轮复习必考题型巩固提升2.2函数的单调性与最值学案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2函数的单调性与最值考情分析1考查求函数单调性和最值的基本方法2利用函数的单调性求单调区间3利用函数的单调性求最值和参数的取值范围基础知识1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)
2、单调性，区间D叫做f(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件.对于任意xI，都有f(x)M；对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值注意事项1.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数y分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接2.设任意x1，x2a，b且x1x2，那么0f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是减函数(x1x2)f(x
3、1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数3.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值4.函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数(3)导数法：利用导数研究函数的单调性(4)图象法：利用图象研究函数的单调性典型例题题型一函数的单调性的判断【例1】（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性解：（1）单调增区间为：单调减区间为，（2）
4、， 令 ，得或，令 ，或单调增区间为；单调减区间为【变式1】 讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递增考向二利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)【例2】函数在上是增函数，求的取值范围分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息：对任意的总有；当时，恒成立解：函数在上是增函数，对任意的有，即，得，即，要使恒成立，只要；又函数在上是增函数，即，综上的取值范围为另解：（用导数求解）令，函数在上是增函数，在上
5、是增函数，且在上恒成立，得题型三利用函数的单调性求最值【例3】已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)证明法一函数f(x)对于任意x，yR总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数法二设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x
6、1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数(2)解f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.【变式3】 已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值解(1)令x1x20，
7、代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.重难点突破【示1】)已知函数f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解答示范 f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa(1分)(1)当a(，
8、1)时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.(3分)要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得a3，即3a1.(6分)(2)当a1，)时，f(x)minf(a)2a2.(8分)要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a2a(10分)解得2a1，即1a1.(11分)综上所述，实数a的取值范围为3,1(12分)【例2】 当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_解析法一当x(1,2)时，不等式x2mx40可化为：m5，则m5.法二设g(x)x2mx4当，即m3时，g(x)g(2)82m，当，即m3时，g(x)g(1)5m由已知条件
9、可得：或解得m5答案(，5巩固提高1设f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为()A(2,0)(2，) B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)答案C2已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3.若有f(a)g(b)，则b的取值范围为()A2，2 B(2，2)C1,3 D(1,3)解析函数f(x)的值域是(1，)，要使得f(a)g(b)，必须使得x24x31.即x24x20，解得2x2.答案B3已知f(x)为R上的减函数，则满足f1，不等式等价于解得1x1，且x0.答案C4函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_解析要使ylog5(2x1)有意义，则2x10，即x，而ylog5u为(0，)上的增函数，当x时，u2x1也为增函数，故原函数的单调增区间是.答案5若x0，则x的最小值为_解析x0，则x2 2 当且仅当x，即x 时，等号成立，因此x的最小值为2 .答案2 7
