《理论力学教程 教学课件 ppt 作者 焦永树 第10章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学教程 教学课件 ppt 作者 焦永树 第10章（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第10章 动能定理,10.1 力的功 10.2 系统的动能 10.3 动能定理 10.4 功率 功率方程 10.5 势力场 势能 机械能守恒定律 10.6 动力学普遍定理的综合应用,1.常力在直线运动中的功,定义力F在路程s中所做的功为,功是代数量。单位为焦耳（J）。,即常力F在路程s中所做的功，等于力F在位移方向的投影Fcos与其路程s的乘积。,10.1 力的功,10.1.1 三种情况下力的功,力F在路程s中积累的效应用力的功来度量，以W表示。,2.变力在曲线运动中的功,力F在全路程上所做的功等于元功之和，即,在直角坐标系下，力F和位移dr表示为,因此又有,力F在无限小位移dr中做的功称为元
2、功，用W表示，则有,10.1 力的功,3. 合力的功,即合力的功等于各分力所做功的代数和。,若质点受n个力F1，F2，Fn共同作用， 这n个力的合力为FR，则合力所做的功为,10.1 力的功,1.重力的功,重力所做的功为,只与质点的起、止位置有关，与其运动路径无关。,对质点系而言，则为,10.1.2 常见力的功,质点M的重力mg在坐标轴上的投影分别为,10.1 力的功,质点系重力的功等于重力在其质心位移上所做的功。,2.弹性力的功,在质点由M1运动到M2的过程中，弹性力做的功为,弹簧的自然长度为l0、刚性因数为k。弹簧对质点的弹性力的大小F=k，其中为弹簧的绝对变形量，弹性力的方向恒指向弹簧未
3、变形时的自然位置。,10.1 力的功,弹性力的功只与弹簧在初始和终了位置的变形量有关，而与质点的运动路径无关。,若取横轴表示弹簧变形量，纵轴表示弹性力F的大小。根据F=k作斜直线，当弹簧变形由1变为2时，弹性力所做功的大小等于图中阴影部分的面积。,10.1 力的功,例10-1 不计质量的弹簧原长为2l，刚度因数为k，两端固定并处于水平位置，如图10-6所示，在弹簧中点挂一重物，求重物下降x时弹性力所做的功。,10.1 力的功,解 弹簧初始变形量为零，最终变形量为,弹性力所做的功为,3. 刚体上力的功,(1) 平行移动刚体上力的功,设受n个力作用的刚体作平行移动，刚体的质心C由C1移动到C2。由
4、于刚体内各点的位移都相同，刚体上力系的功等于力系的主矢,10.1 力的功,在质心位移上所做的功。即,(2) 定轴转动刚体上力的功,设刚体绕z轴作定轴转动。作用在刚体上的力F的元功为,10.1 力的功,当刚体由起始位置角1转到最终位置角2时，力F在这个过程中所做的功为,其中Ftr为力F对z轴的力矩Mz，于是,(3) 平面运动刚体上力的功,10.1 力的功,当刚体上有多个力作用时，Mz为各力对转轴z之矩的代数和。当力矩Mz为常量时,若作用在刚体上的是力偶，则上式仍然成立，只是其中为Mz力偶对于转轴z之矩。,设受n个力作用的刚体作平面运动，将力系向质心C简化，得一合力和一合力偶。则力系所做功等于合力
5、在质心C的位移上所做功与合力偶在刚体转角上所做功之和，即,力偶M所做的元功为,10.1 力的功,例10-2 半径为R的圆盘沿倾角为的斜面作纯滚动，在轮缘上绕以细绳并对轮作用水平拉力F（图10-8）。当轮心C有位移dr时，求力F的元功。,解 圆盘作平面运动。将力F向质心C简化，得一作用于C的力F 和一力偶M。,故力F的元功为,力F 所做的元功为,4.质点系内力的功,由质点M1和M2组成的质点系, 质点间的吸引力F12和F21就是内力。但是两力所做功不为零。,10.1 力的功,机器中轴与轴承之间相互作用的摩擦力所做的功恒为负，也不为零。,当质点系内质点间的距离可变化时，内力的功一般不等于零；当机械
6、系统内包含发动机或变形元件（如弹簧等）时，应考虑内力的功。,对于刚体，由于任意两点之间的距离始终保持不变，因此刚体内力的功之和恒等于零。不可伸长的柔绳、钢索等内力的功之和也都等于零。,5.约束力的功,约束力不做功的约束称为理想约束。,10.1 力的功,(1) 理想约束,滑动摩擦力是一种被动力，其方向往往与物体运动方向相反，一般情况下它做负功，即有摩擦的接触面约束通常不是理想约束。,10.1 力的功,(2) 摩擦力的功,当圆柱体沿固定面作纯滚动时，接触点为速度瞬心，滑动摩擦力作用点处没有位移，此时，静滑动摩擦力也不做功。即当圆柱体沿固定面作纯滚动时，考虑摩擦的固定面也属于理想约束。,例10-3
7、一弹簧振子沿倾角为的斜面滑动，已知物体重G，弹簧刚性因数为k，动摩擦因数为f。求从弹簧压缩s开始，到弹簧回弹的过程中各力的功及各力的全功。,10.1 力的功,10.1 力的功,解 (1）取振子为研究对象，作受力分析图。取坐标系Oxy，因刚体在y轴方向受力平衡，由平衡方程解得,(2）各力的功,(3）各力的全功,1.质点的动能,对由n个质点组成的质点系，其动能就是这n个质点动能的代数和，以T表示，即,10.2 系统的动能,设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为mv2/2。动能是表征质点机械运动的一个量，恒为正值，是一个标量。动能的单位与功的单位相同，都是焦耳（J）。,2.质点系的动能,3.刚体
8、的动能,其中，m是刚体的质量，vC是质心C的速度。,刚体平动时，各点的速度都等于质心C的速度，即 ，所以平动刚体的动能为,10.2 系统的动能,(1) 平动刚体的动能,该式说明，平动刚体的动能，等于刚体的质量与刚体质心速度平方乘积的一半。,又由于 ，即刚体对于z轴的转动惯量，故有,设刚体绕定轴z以角速度转动，其中任一质点的质量为mi，到转轴的距离为ri。则该质点的速度为vi=ri。因此，绕定轴z转动刚体的动能为,10.2 系统的动能,(2) 定轴转动刚体的动能,该式说明，绕定轴转动刚体的动能，等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。,用过质心C的平面图形来表示作平面运动的刚体。当刚体
9、作平面运动时，此平面图形在其自身所在平面内运动。若点P为某时刻的速度瞬心，则此时刻刚体可看作在绕过瞬心P的垂直轴作定轴转动，刚体的动能为,10.2 系统的动能,(3) 平面运动刚体的动能,其中，为刚体转动的角速度，JP为刚体对时刻转轴的转动惯量。,取过质心C的轴为转轴，设质心轴与瞬心轴之间的距离为d，刚体的质量为m，刚体对质心轴的转动惯量为JC ，则由转动惯量的平行轴定理，有,10.2 系统的动能,即：平面运动刚体的动能等于随同质心平动的动能再加上绕质心轴转动的动能。,因此得：,例10-4 半径为R、质量为m的轮子作纯滚动，轮心速度为vC 。设轮子的全部质量分布在轮缘上，轮辐的质量不计。求车轮
10、的动能。,10.2 系统的动能,解 由于轮子的质量分布在轮缘，轮辐质量不计，故可将车轮看作一个圆环。车轮作平面运动，其动能包含随同质心C平动的动能和绕质心C转动的动能，即,例10-5 系统中各杆为均质杆，其中杆CD和OA的质量均为m，杆AB的质量为2m，且OA=AC=CB=CD=l。杆OA以角速度转动，求图示时刻系统的动能。,10.2 系统的动能,解 杆OA作定轴转动，其动能为,杆AB作平面运动，其动能为,杆AB的速度瞬心为O，则,，,（a）,（b）,10.2 系统的动能,于是有,代入式（b），得：,杆CD作定轴转动，其动能为,，,由此得系统的动能为,将 代入上式，得,又 根据，上式成为,10
11、.3动能定理,根据质点的运动微分方程,10.3.1 质点的动能定理,在方程两边点乘dr，得,故有,即：质点动能的增量等于作用于质点上的力在质点位移上的元功，这就是质点动能定理的微分形式。,将动能定理的微分形式积分，得：,因此，在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力所做的功，这就是质点动能定理的积分形式。,（1）动能定理是代数式，所以它没有投影形式。 （2）动能与功的意义是不同的。 （3）动能的变化与力的功之间有量的关系，这就是动能定理所指出的：某个过程中，动能的变化量就等于作用力的功。,10.3 动能定理,设质点系由n个质点组成 ，对第i个质点有,交换微分与求和次序，有,1
12、0.3 动能定理,10.3.2 质点系的动能定理,将n个这样的方程相加，得,将质点系的动能用T表示，上式简化为,设质点系由n个质点组成 ，对第i个质点有,将上式积分，得,10.3 动能定理,即质点系动能的增量，等于作用于质点系的全部力做的元功之和，这就是质点系动能定理的微分形式。,即在某一运动过程中，质点系从起始到终止状态动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这一过程中所做功的和，这就是质点系动能定理的积分形式。,10.3 动能定理,若将作用于质点系上的所有力分为主动力和约束力，那么积分形式的动能定理可以写为：,其中 和 分别为全部主动力和全部约束力在这一过程中所做功之和。,对于具有理想约束
13、的问题，质点系上所有约束力所做的功之和为零，故动能定理简化为如下形式：,上式中不再包含约束力，用来求解与约束力无关的问题比较方便。而如果在理想约束之外，还有考虑摩擦的支撑面，可将滑动摩擦力作为主动力来处理。,10.3 动能定理,例10-6 质量为m的物块，自高度h处自由落下，落到有弹簧支承的板上，如图10-18所示。弹簧的刚性因数为k，不计弹簧和板的质量，求弹簧的最大变形。,解 将下落过程分为两个阶段。,(1) 物块由位置落到板上。在这一过程中，只有重力做功，应用质点的动能定理，有,可求得,10.3 动能定理,(2) 物块继续向下运动至最低位置。应用质点的动能定理，有,由于弹簧的最大变形量总是
14、大于其静变形量mg/k，上式取正号，得,可以解得,10.3 动能定理,另外，若将上述两个阶段合并在一起考虑，有,上式也说明，在物块从位置到位置的运动过程中，重力做正功，弹性力做负功，彼此恰好抵消，因此物块运动始末位置的动能是相同的。显然，物块在运动过程中动能是变化的，但在应用动能定理时不必考虑始末位置之间动能是如何变化的。,所得结果与分开考虑时相同。,10.3 动能定理,例10-7 质量为m1=100kg的圆轮，其半径R=0.5m，轮轴的半径r=0.2m。轮对于质心G的回转半径G=0.25m。若作用一顺时针的常力偶M=20Nm，使它的轮轴沿水平面只滚不滑，求m2=20kg的物体A由静止释放至下
15、降0.4m时，轮子的角速度。设弹簧刚性因数k=60N/m，并且当物块释放时弹簧没有伸长。弹簧与BC段绳均保持水平。（滑轮C质量不计）,10.3 动能定理,解 （1） 确定研究对象。以圆轮和重物所组成的系统作为研究对象。,（2）分析系统的受力并计算主动力的功。系统所受主动力为m1g、m2g、Fk、M。在重物下降s的过程中，主动力所做的功为,其中为圆轮的转角，为弹簧的伸长量，且,，,10.3 动能定理,（3）分析系统的运动并计算动能,圆轮作平面运动，速度瞬心为P。物体A作直线运动。当物体A由静止释放至下降s时,系统的初动能,，,系统的末动能,10.3 动能定理,（4）应用质点系动能定理并求解,代入有关数据，并由质点系动能定理，得,可解得：,10.3 动能定理,例10-8 图10-20所示系统中，滚子C和滑轮B可视为均质圆盘，其质量mB=mC= m1，半径均为r，滚子沿倾角为的斜面向下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳索提升质量为mA=m2的重物A，同时带动滑轮
