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1、高等数学C考研辅导一、关于矩阵运算问题矩阵运算的核心问题是矩阵乘法和逆运算，逆矩阵的求法包括伴随矩阵法和初等变换法两种。例1：求方阵的逆矩阵。【分析】逆矩阵的求法包括伴随矩阵法和初等变换法两种。【解法一】伴随矩阵法： 因为所以存在。下面依次计算所以：【解法二】初等变换法：所以例2：已知， ， ，求矩阵，使得.【分析】解矩阵方程属于矩阵运算的应用，解题思路是先把未知矩阵解出来，然后具体运算得出结果。【解】经计算知，所以、都可逆，用左乘上式、右乘上式，得到，即. ， 故，二、关于线性方程组的解线性方程组的核心问题有三个：齐次性性方程组的基础解系；一般线性方程组解的情况的判定；一般线性方程组解的表示
2、。例3：求齐次线性方程组的通解，用基础解系表示。【分析】做该类题目应把系数矩阵化成行最简形矩阵，据此写出与原方程组同解的方程组，确定自由未知量，最后求出基础解系。【解】系数矩阵原方程组化为即 ，为自由未知量。分别令得基础解系方程组的通解为，为任意实数。例4：取何值时线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有无穷多解时求出通解。【分析】若方程的个数等于未知量的个数，可用克兰姆法则首先确定方程组何时有唯一的解，然后讨论其他情形，否则就只能对增广矩阵作初等变换化行最简形矩阵了。【解法一】系数行列式当时，由兰姆法则知方程组有唯一的解；当时，增广矩阵系数矩阵的秩，增广矩阵的秩，线性方程组无解；当时，增广矩
3、阵原方程组化为为自由未知量。令，求得特接。其导出组化为，得基础解系，方程组的通解为，为任意实数。【解法二】对增广矩阵施行初等行变换变为行阶梯形矩阵，有 （1）当且时，方程组有唯一解； （2）当时，方程组无解； （3）当时，方程组有无限多个解以下同解法一。【评论】表面上看解法二简单，但由于增广矩阵带有字母，化简时容易出错，请大家细心体会。三、求向量组的最大线性无关组并把其余向量表示它的的线性组合。该类问题是一般线性方程组的应用，基于以下结论：结论：矩阵的初等行变换不改变列向量的线性关系。即设，则(1)线性相关当且仅当线性相关。(2)线性相关当且仅当线性相关。(3)是的极大线性无关组当且仅当是线性
4、相关的极大线性无关组。(4)当且仅当例5：求极大线性无关组，并把其余向量表示成极大无关组的线性组合。【解】，极大线性无关组是，四、实对称矩阵的对角化问题。实对称矩阵的对角化问题是综合题，涉及到行列式的计算、齐次线性方程组基础解系的求法、向量的正交化方法、对角化方法等问题。例6：试求一个正交矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:(1);(2)【解】(1)故得特征值为当时，由解得基础解系单位特征向量可取:当时,由解得基础解系单位特征向量可取: 当时,由解得基础解系单位特征向量可取: 得正交阵(2)，故得特征值为当时，由求得基础解系此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量单位化得当时,由得基础
5、解系单位化:得正交阵，五、有关一维随机变量的问题。一维随机变量是概率统计的基础，理解好这些内容对于学习多维随机变量起到铺垫作用。例7：已知随机变量的概率密度为求：(1)； (2)；(3)随机变量的分布函数；(4)；(5)函数的概率密度。【解】（1），得。（2）（3）(4)(5)当时， 当； 当当时，六、有关二维随机变量的问题。D（1，2）例8:设二维随机变量的概率密度为求：(1)； （2）边缘概率密度，； （3）在的条件下，的概率密度；(4)独立吗？【解】（1）所以 （2）= = =（3）当时，（4）不独立。因为在D上除个别点外。七、有关参数估计方面的问题。例9：设总体X具有分布律 X123其中是未知参数,已知取得了样本值，试求的矩估计值和最大似然估计值。【解】(1)矩估计：,令得， 故的矩估计值为，(2)似然估计：由上式得，令得的最大似然估计值为。例10：设总体X的概率密度为 , -1,是来自总体X的简单随机样本,分别用矩估计和极大似然估计法求的估计量。【解】 (1)令，即，得故的矩估计值为， (2)当=,解得得的最大似然估计值为。
