《电路分析与基础教程 教学课件 ppt 作者 蒋志坚 主编 第9章 一般线性电路的动态分析--拉氏变换法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电路分析与基础教程 教学课件 ppt 作者 蒋志坚 主编 第9章 一般线性电路的动态分析--拉氏变换法（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第9章 一般线性电路的动态分析-拉氏变换法,9. 1 拉普拉斯变换,一、应用拉普拉斯变换的理论背景,对具有多个储能元件的复杂电路动态分析，以前只能用求解微分方程的方法，十分困难。 拉普拉斯变换和傅里叶变换都是一种积分变换。利用该变换，可以将电路的微分方程求解变成代数方程求解；可以将过渡过程的动态分析，变成纯电阻电路的静态分析，使分析过程大大简化。 所以拉普拉斯变换法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法。,二、拉普拉斯变换的定义,1、拉普拉斯变换 一个定义在0，)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为,式中 s =+j为复数， F(s)称为f(t)的象函数， f(t)称为F(s
2、)的原函数。 注意：积分的下限 0- 定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及t=0- 0+时f(t)包含的冲激，从而给计算存在冲激函数电压和电流的电路带来方便。,2、拉普拉斯反变换,通常可以L 符号表示对方括号里的时域函数作拉氏变换；,用符号L-1 表示对方括号里的复变函数作拉氏反变换。,注意：拉普拉斯正变换、反变换必须一一对应！,例：求以下函数的象函数：,（1）单位阶跃函数；（复习相关知识） （2）单位冲激函数； （复习相关知识） （3）指数函数。,解：（1）,单位阶跃函数 f(t) =(t),（2）单位冲激函数；,f(t) =(t),=e-s(0),=1,（3）指数函数；,f(t)
3、=eat a为实数,例：RLC串联电路，求电流i(t)=?,设电源电压为u(t)，电感中初始电流为i(0-)，电容中初始电压为uc(0-)。,+,+,_,u(t),i(t),S,_,uc(t),R,L,U(s),+,_,uc(0-)/s,1/sC,sL,+,_,Li(0-),运算电路图,I(s),U(s),+,_,uc(0-)/s,1/sC,sL,+,_,Li(0-),整理后有,I(s),求出I(s)， 再求其拉普拉斯反变换， 得到i(t),9. 2 拉普拉斯变换的基本性质,一、线性性质,设f1(t)和f2(t)是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为F1(s) 和F2(s) ，A1和A2是两
4、个任意实常数，,LA1f1(t)+ A2f2(t),= A1 F1(s) + A 2F2(s),= A1L f1(t) + A2Lf2(t),例：求以下函数的象函数：,（1）f(t)=sin(t) （2）f(t)=K(1-e-at),解：（1）,（2）f(t)=K(1-e-at),LK(1-e-at),=LK -Le-at,二、微分性质,函数f(t)的象函数与其导数f (t)=df(t)/dt的象函数之间有如下关系,若 Lf(t)= F(s) 则 Lf (t)=sF(s)- f(0-),例：利用导数性质求以下函数的象函数：,（1）f(t)=cos(t) （2）f(t)=(t),解：（1）,s,
5、-,0,（2）,由于 (t)=d(t)/dt,=1,f(t)=(t),=,s,-,0,在RLC例子中应用！,三、积分性质,函数f(t)的象函数与其积分,若 Lf(t)= F(s) 则,的象函数之间有如下关系,例：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数,解：f(t)=t,Lf(t)=,在RLC例子中应用！,四、延迟性质,函数f(t)的象函数与其延迟函数f (t-t0) 的象函数之间有如下关系,若 Lf(t)= F(s) 则 Lf (t-t0)=,T,例：求f(t)的象函数,解：,f(t)=,=A(t),A,-A(t-T),Lf(t)=,A/s-,A/s ,e-sT,f (t)+ f (t),五、
6、位移性质,函数f(t)与eat乘积的象函数,若 Lf(t)= F(s) 则 Lf (t) eat=,F(s-a),结论： 由此可见，根据拉氏变换的性质，可以简化常用函数的拉普拉斯变换。,常用函数的拉氏变换及反变换对应表,原函数f(t) 象函数F(s),A(t),A (t),Ae-at,1-e-at,sin(t),A,A/s,e-atsin(t),常用函数的拉氏变换及反变换对应表,原函数f(t) 象函数F(s),e-atcos(t),t e-at,t,cos(t),常用函数的拉氏变换表见教材。,9.3 拉普拉斯反变换,一、部分分式展开法,电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的s的多项式之比，即
7、s的一个有理分式,式中m和n为正整数，且nm。,分解定理：,把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到再相加，这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。 具体步骤： 1）用部分分式展开有理分式F(s)时，需要把有理分式化为真分式。(一般nm，已为真分式，这步不必。) 若n=m，则,2)用部分分式展开真分式时，需要对分母多项式作因式分解，先求出D(s)=0的根， D(s)=0的根可以是三种情况： 单根 共轭复根 重根,二、D(s)=0具有单根的情况,如果D(s)=0有n个单根，设n个单根分别是p1、p2、pn。 于是F(s)可以展开为,Ki=(s-pi)F(s)s=pi
8、,待定系数的另一个公式为,确定了待定系数后，相应的原函数为,其中待定系数K2、K3、Kn的计算公式为：,例：求F(s)的原函数,解：,D(s)=0的根为,p1=0,p2=-2,p3=-5,D(s)=3s2+14s+10,=0.1,同理求得：,K2=0.5,- 0.6e-5t,f(t)=,0.1,+ 0.5e-2t,K3=-0.6,三、D(s)=0的具有共轭复根的情况,p1=a+j,p2=a-j,K1=(s- a-j)F(s)s= a+j,K2=(s- a+j)F(s)s= a-j,设K1=| K1 |e j1，则K2=| K1 |e -j1,注意：只求复数K1即可,例：求F(s)的原函数,解：
9、,D(s)=0的根为,p1=-1+j2,p2=-1-j2,=0.5-j0.5,s2+2s+5=0 s2+2s+1+4=0 (s+1)2+4=0,式中,K11 =,( s-p1 )qF(s)|s = p1,四、D(s)=0具有重根的情况,例：求F(s)的原函数,解：,D(s)=0的根为,p1=-1为三重根,p2=0为二重根,首先以(s+1)3乘以F(s)得,K11 = ( s-p1 )3F(s)|s = p1,=1,=3,=2,同理可求得,K21=1 K22=-3,所以,相应的原函数为,f(t)=,3e-t,+2te-t,+0.5t2e-t,-3,+t,9.4 拉普拉斯变换电路图,一、电路定律的
10、运算形式,根据拉氏变换的线性性质得出基尔霍夫定律的运算形式如下：,对于任一结点,I(s)=0,对于任一回路,U(s)=0,本节的意义：在电路图上完成拉普拉斯变换，从而将电路复杂的过渡过程动态分析，变成纯电阻电路的简单静态分析，使分析过程大大简化。,二、各元件电压电流关系的运算形式,1、电阻元件,瞬时值之间的关系,u(t)=Ri(t),运算形式,U(s)=RI(s),2、电感元件,瞬时值之间的关系,u(t)=Ldi(t)/dt,运算形式,U(s)=,sLI(s),-Li(0-),sL,变换之后的电路图：,Li(0-),_,+,sL为电感的运算阻抗, i(0-)表示电感中的初始电流, Li(0-)
11、表示附加电压源的电压，它反映了电感中初始电流的作用。 注意：1、附加电压源的方向 2、电感两端电压的实际位置,3、电容元件,瞬时值之间的关系,i(t)=Cdu(t)/dt,运算形式,I(s)=,sCU(s),-Cu(0-),1/sC,u(0-)/s,_,+,1/sC为电容的运算阻抗, u(0-)表示电容两端的初始电压, u(0-)/s表示附加电压源的电压，它反映了电容两端初始电压的作用。 注意：1、附加电压源的方向 2、电感两端电压的实际位置,例：RLC串联电路，求电流i(t)=?,设电源电压为u(t)，电感中初始电流为i(0-)，电容中初始电压为uc(0-)。,+,+,_,u(t),i(t)
12、,S,_,uc(t),R,L,U(s),+,_,uc(0-)/s,1/sC,sL,+,_,Li(0-),运算电路图,I(s),U(s),+,_,uc(0-)/s,1/sC,sL,+,_,Li(0-),整理后有,I(s),求出I(s)， 再求其拉普拉斯反变换， 得到i(t),例1：电路原处于稳态。t=0时开关S闭合，试用运算法求解电流i1(t)。,解：电路的运算电路为,1,s,+ 1/s -,1/s,1,I1(s),+ 1/s -,Ia(s),Ib(s),应用网孔法,(1+s+1/s),1/s,-,1/s,1/s,-,1/s,-,+(1+1/s),1/s,解得,I1(s)= Ia(s),i1(t
13、)=0.5(1-e-tcost-e-tsint)A,注：返回P41,例2：电路原处于稳态，t=0时将开关S闭合，求t0时的uL(t)，已知uS1为指数电压， uS1=2e-2t V， uS2为直流电压， uS2=5V 。,uS1=2e-2t V uS2=5V,+ uS1 -,+ uS2 -,5,5,1H,+ uL -,5,5,+ -,+ -,+,s,+ UL(s),Li(0-),+ -,解：运算电路图,5,5,+ -,+ -,- +,s,Li(0-),+ UL(s) -,应用结点电压法,UL(s)=,1/5 + 1/5 +1/s,+,-,+,其中：i(0-)=1A,注：数据及时带入！,UL(s
14、)=,uL(t)=,(-4e-2t,+5e-2.5t ),V,例3：开关S原来闭合，求打开S后电路中的电流及电感元件上的电压。,+ 10V -,2,3,0.3H,0.1H,S,2,3,+ 10/s -,0.3s,0.1s,1.5,- +,解：K打开后的运算电路图 （本题难点在电感电流的换路跃变）,2,3,+ 10/s -,0.3s,0.1s,1.5,- +,I(s),i(t)=(2,2,+1.75e-12.5t)A,但开关打开后， L1和L2的电流在t=0+时都被强制为同一电流，,5A,电感L1中原有电路为,电感L2中原有电流为,0A,i(0+)=,3.75A,2,3,+ 10/s -,0.3
15、s,0.1s,1.5,- +,I(s),UL1(s)=0.3sI(s)-1.5,uL1(t)=-6.56e-12.5t - 0.375(t)V,UL2(s)=0.1sI(s),uL2(t)=-2.19e-12.5t + 0.375(t)V,注意：原因在于，2个电压表达式中都出现冲击函数，说明发生跃变现象！,可见两个电感的电流都发生了跃变。 由于电流的跃变，电感L1和L2的电压中有冲激函数出现。 但两者大小相同而方向相反，故在整个回路，不会出现冲激电压，保证满足KVL。 跃变对整个求解过程没带来任何困难，显示拉式变换比较经典法的优势！ 注：用上学期将的三要素法作一次；配合磁链守恒,9.5 应用拉
16、氏变换进行线性电路暂态分析,一、运算法和相量法的比较,1、相量法 相量法把正弦量变换为相量（复数），从而把求解线性电路的正弦稳态问题归结为以相量为变量的线性代数方程，正弦稳态电路归结成为纯电阻电路分析。 2、运算法 运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把求解微分方程归结为求解线性代数方程问题，动态电路的过渡过程归结为纯电阻电路分析。,运算法的解题步骤,1、计算uC(0-)和iL(0-) 2、画出运算电路图 注意: a.电感和电容的附加电压源 b.各元件的参数: 电阻参数不变 电感参数为sL 电容参数为1/sC c.原电路中的电源进行拉氏变换 3、列电阻性质的方程 4、求解响应的象函数 5、拉氏反变换求得出所求响应的时域解。,
