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1、第7章 非正弦周期电流电路,7.1 非正弦周期电流 7.2 非正弦周期信号及其分解 7.3 非正弦周期电流电路中的有效值、 平均值及平均功率 7.4 非正弦周期电流电路的计算,前面讨论的都是正弦交流电路，电路中的激励、响应都是随时间按正弦规律变化的。但在实际应用中还会遇到许多这样的电压或电流，它们虽然是有规律周期变化的，但不是按正弦规律变化。如图7-1中所示的矩形波、锯齿波、三角波及全波整流波形。,7.1 非正弦周期电流,图7-1,电路中产生非正弦周期电压、电流的原因通常来自电源和负载。 非正弦量可分为周期和非周期的，我们把按非正弦周期性规律变化的电压电流称为非正弦周期量，若电路中的激励或响应
2、都是非正弦周期量，则这种电路称为非正弦周期电流电路，简称非正弦电路。本章仅讨论线性的非正弦电路。,对非正弦周期信号，除了直接研究它们与时间的函数关系外，还可以利用傅里叶级数将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦波分量和直流分量（有时无此分量）之和，然后利用直流电路和正弦交流电路的理论和分析方法，分别分析各种频率正弦信号单独作用下的电流或电压，最后按叠加原理进行叠加。这种用分析非正弦周期电路的方法称谐波分析法。 从数学分析中可知：一个非正弦周期函数，只要满足狄里赫利条件，就可以分解为一个收敛的无穷三角级数，即傅里叶级数。,7.2 非正弦周期信号及其分解,将非正弦周期函数分解为傅里叶级数。,设
3、f(t)为一满足狄里赫利条件的非正弦周期函数，其周期为T，角频率为= ，则f(t)可分解为下列的傅里叶级数：,f（t）=A0+A1msin（t +1）+A2msin（2t +2）+ +Akmsin（kt +k）+ =A0+,式中，f(t)为非正弦周期信号；A0是f(t)直流分量或恒定分量，也称零次谐波；A1msin(t +1)频率与f(t)的频率相同，称为基波或一次谐波；A2msin(2t +2)频率为基波频率的两倍，称为二次谐波；Akmsin(kt +k) 频率为基波频率的k倍，称为k次谐波。,傅里叶级数用三角公式展开，又可写为,f(t)=a0+(a 1cost+b 1sint)+(a 2c
4、os2t+b 2sin2t) +（a kcoskt+bk sinkt）+ =a0+,式中，a0，a k，bk为傅里叶系数，可按下式求出：,两种形式的参数之间的关系为：,A0= a0,ak = Akmsink,bk = Akmcosk,可见，要将一个非正弦周期信号分解为傅里叶级数，实质上就是计算其傅里叶系数a0、a k、bk。,例7-1 求表7-1所示矩形波的傅里叶级数。已知 f(t)=,Um （0t） -Um （t2）,解：根据傅里叶级数展开的公式，有,0 （k为偶数） （k为奇数）,所以,如果要精确表示非正弦周期信号，需要用无限项的傅里叶级数，然而随着谐波次数的增加，谐波的幅值逐渐减小，所以
5、一般用较小的项数就可以获得较好的近似值。 以上是用数学分析的方式进行傅里叶级数的展开。工程中多采用查表法，如表7-1所示。,表7-1 典型信号的傅里叶级数展开式,7.3 非正弦周期电流电路中的有效值、平均值及平均功率,有效值 在实际工程中，往往需要对一个非正弦周期信号有一个总体的度量。正弦信号的有效值可以计算和测量，非正弦信号的有效值也可以计算和测量。在第3章中已经定义过，任何周期信号的有效值都等于它的均方根值，于是非正弦周期电流i的有效值为,而非正弦周期电流的傅里叶级数展开式为,将该表达式代入有效值定义式中，得,把上式根号内的积分展开，可得以下四项：,可推导出非正弦周期电流的有效值计算公式为
6、,同理，非正弦周期电压和电动势的有效值就分别为,除有效值外，非正弦周期信号还经常用到平均值。非正弦周期信号的平均值实际上就是傅里叶级数展开式中的直流分量，以非正弦周期电流i为例，其平均值为 从上式可知，当非正弦周期信号的波形对称于坐标横轴时，其平均值为零。在工程上为了便于测量和分析，常用非正弦周期信号的绝对值在一个周期内的平均值来定义非正弦周期信号的平均值。即,平均值,瞬时功率、平均功率,设非正弦周期电流和电压的傅里叶级数分别为,非正弦周期电路的瞬时功率与正弦电路定义方法相同，在关联参考方向下，有 p=ui 则一个周期内的平均功率为,将i(t)、u(t)代入平均功率的定义式中并展开，可得到下列
7、各项：,其中Uk、 I k为k次谐波电压、电流的有效值；uk、ik为k次谐波电压、电流的初相角；k=uk-ik为k次谐波电流滞后于同次谐波电压的相位（阻抗角）。因此，其平均功率为,即非正弦周期电路的平均功率为其直流分量的功率与各次谐波功率之和。不同频率的电压和电流不产生平均功率。,同理，非正弦周期电路的无功功率也定义为其各次谐波无功功率之和，即,而非正弦周期电路的视在功率定义为电压和电流有效值的乘积，即,将有功功率与视在功率之比定义为非正弦周期电路的功率因数，即,无功功率、视在功率、功率因数,对非正弦周期电路分析计算的理论基础是傅里叶级数和叠加原理。 非正弦周期电路的分析方法可归纳为下列的三个
8、步骤： 1）将给定的非正弦周期信号分解为傅里叶级数，如果是无穷级数，需根据具体问题要求的准确度，取有限项高次谐波，一般取到5次或7次谐波就可以保证足够的准确度。,7.4 非正弦周期电流电路的计算,2）分别计算直流分量和各次谐波分量作用于电路时的响应。分析方法与直流电路和正弦交流电路的分析方法完全相同。必须注意：电感元件和电容元件对不同频率的谐波有不同的感抗和容抗。对于直流分量，电感元件相当于短路，电容元件相当于开路；对于不同频率的各次谐波，感抗 容抗 。可见，谐波次数越高，感抗越大，容抗越小。,3）根据叠加原理，将电路在直流分量及各次谐波分量作用下的响应进行叠加。此时要注意：叠加原理只能用于瞬
9、时值表达式的叠加，而不能把不同频率下的正弦量相量或有效值进行叠加。,例7-4 某电压u(t)= 40+180sint +60 sin (3t 45)V接于RLC串联电路，已知：R=10，L=0.05H，C=50F，=314rad/s。试求电路中的电流i。,解：由于非正弦周期电压u的傅里叶级数展开式是已知的，可直接求U0、u1、u3单独作用于电路时的I0、i1、i3。,1）直流分量U0 = 40V单独作用时，由于电容相当于开路，所以I0 = 0A。,2）基波u1=180sintV单独作用时，因为,所以有,则,3）三次谐波u3 = 60sin(3t45)V单独作用于电路时，因为,4）根据叠加原理，
10、求出总电流。因为,I0=0A ；i1= 3.67sin (t78.2)A i3= 2.17sin (3t-23.9) A 得 i = 3.67sin (t78.2)2.17sin (3t-23.9)A,则,所以有,例7-5 如图7-2所示电路中，已知L=2， =15，R1=5，R2=10，电源电压为 u(t)=10+100 sint+50 sin(3t30) V，求：各支路电流表达式及有效值；电源发出的平均功率。,图7-2,1）直流分量U0=10V单独作用于电路时，等效电路如图7-2b所示，此时电感相当于短路，电容相当于开路，各支路电流为,2）基波分量u1 = 100 sint V单独作用于电路时，等效电路如图7-2c所示，因为,解：,则有,3）三次谐波u3 = 50 sin(3t30)V单独作用于电路时，等效电路如图7-2d所示，因为,XL3=3L6， XC3= 5,此时,所以,4）根据叠加原理，求出各支路电流。因为,i2=I20i21i23 =5.55 sin(t+56.3) + 4.47 sin (3t56.57)A,5）各支路电流的有效值为,6）电源输出的平均功率为,P =U0I0+U1I1cos1+U3I3cos3 =102+10020.43cos6.38 +508.61cos(30-10.17)W 2455W,
