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1、第4章 空间力系,4.1 空间汇交力系的合成与平衡 4.2 力对点的矩与力对轴的矩 4.3 空间力偶系 4.4 空间任意力系的简化 4.5 空间任意力系简化结果的分析 4.6 空间任意力系的平衡 4.7 重心和形心,1、一次投影法（直接投影法） 已知力F与直角坐标系Oxyz三轴正向间的夹角 和 ，由图可知：,4.1 空间汇交力系的合成与平衡,工程中常常存在着各力的作用线在空间呈任意分布的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。空间汇交力系是空间力系的特殊情况。,4.1.1 力在直角坐标轴上的投影,3,2、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易 确定时，可先将 F 投影到xy 面上，
2、然后再投影到x、y轴上， 即,4,3、力沿坐标轴分解： 若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，i、j、k分别表示沿x、y、z轴的单位矢量，则力F可表示为：,力F的大小和方向余弦分别为：,5,例4-1 已知:沿图所示长方体的对角线AB有一力F作用，其值为F=500N。 求：该力在三个坐标轴上的投影。,解：采用二次投影法。 由图中几何关系可知：,因此，力F在坐标轴上的投影分别为：,6,4.1.2 空间汇交力系的合成与平衡,1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。 FR=F1+F2+Fn= 即：合力FR的大小和方向可由其空间力多边形的封闭边确定。,2、解析法： 由于 Fi=
3、Fixi+ Fiyj+ Fizk （i=1，2，n） 代入上式得：,7,即合力在某一坐标轴上的投影，等于力系中所有各力在同一轴上投影的代数和，这就是空间汇交力系的合力投影定理。 合力FR的大小和方向余弦分别为,而合力FR又可表示为 FR=FRxi+FRyj+FRzk 其中FRx、FRy和FRz分别为FR在x、y和z轴上的投影。 比较以上两式，可得,8,3、空间汇交力系的平衡,解析法平衡充要条件为：,几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。,空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零， 即：,称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程,例4-2 已知:直杆AB和AC铰接于点A，其下悬挂一物体重G=
4、1000N，并用绳子AD吊住。已知杆AB与杆AC长度相等且互相垂直，OAD=30，图中O、B、A、C都在同一水平面内，B、C处均为球铰链。 求：杆AB、杆AC以及绳子AD所受的力。,9,解：(1) 选取铰链A为研究对象。,10,(2) 通过节点A的主动力有重力G，约束力有绳子AD的拉力FT；由于B、C处为球铰链，杆AB和AC均为二力杆，其约束力FAB、FAC 沿AB、AC连线，如图所示。G、FT、FAB和FAC四个力汇交于点A，构成一空间汇交力系。 (3) 列平衡方程并求解,11,代入有关数据可解得 FT2000N， FAC-1224.7N， FAB-1224.7N FAB和FAC均为负值，说
5、明这两个力的实际方向与假设方向相反，即两杆均受压力。,12, 42 力对点的矩与力对轴的矩,力矩矢通过矩心O，垂直于力矩平面，指向由右手螺旋规则来确定，即从矢量的正向观看，力矩的转向是逆钟向的。,13,即：力对任一点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢积。,14,4.2.2 力对轴的矩,结论：力对于任一轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面的交点之矩。 力对/它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。,证,15,4.2.3 力矩关系定理,证任取一点O，并过O点作 一轴z，力F对点O之矩MO(F) 垂直于 所在平面，其模为,力F对z轴之矩为,其中 为 在垂直于z轴的平面上的
6、投影，即,式中 为两三角形平面间的夹角，也就是力矩矢MO(F)与z轴之间的夹角。于是,16,定理：力对于任一点之矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于力对于该轴之矩，这称为力矩关系定理。,设力F作用点的坐标为（x,y,z）,力对坐标轴之矩的解析表达式为：,Mx(F)= yFz zFy My(F)= zFx xFz Mz(F)=xFy yFx,17,解：(1)用合力矩定理计算。,例4-3 已知:手柄ABCD位于平面Axy内，D处有一力F作用在垂直于y轴的平面内，与铅垂线的夹角为。杆BC平行于x轴，杆CD平行于y轴，图中O、B、A、C都在同一水平面内，B、C处均为球铰链。CD=a, 求：力F对于x、y
7、和z轴之矩。,18,将力F沿直角坐标轴方向分解为Fx和Fz，则 Fx = Fsin, Fz = Fcos。应用合力矩定理有 Mx(F)= Mx(Fz)= F(l + a)cos My(F)= My(Fz)= Fl cos Mz(F)= Mz(Fx)= F(l + a)sin (2)用力对轴之矩的解析式计算 力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx = Fsin， Fy0，Fz =- Fcos；力F作用点D的坐标为 ( -l，l+a，0)，代入公式可得 Mx(F)= yFz zFy= F(l + a) cos My(F)= zFx xFz = Fl cos Mz(F)= xFy yFx = F(l +
8、 a) sin,19,4-3 空间力偶系,矢量的长度表示力偶矩的大小，矢量的方位与力偶作用面的法线方向相同，指向按右手螺旋规则确定，如图所示。,各力偶的作用面在空间呈任意分布的力偶系称为空间力偶系。,20,证设在图刚体的平面I内作用着一个力偶（FA，FB）。今在同一刚体的另一平行平面II内作一直线CD，使其与AB平行且相等。在C点加一对平衡力FC和 ，在D点加一对平衡力FD和 ，并令FC=-FD =FA，如图所示。,4.3.2 空间力偶的等效条件 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。,21,根据加减平衡力系公理，加在刚体平面II内的平衡力系
9、并不改变原来在平面I内的力偶（FA，FB）的作用。 连接AC、BD，构成平行四边形ACDB，其对角线AD与BC的交点为O。由平行力系合成理论，FA和 两个等值同向的平行力的合力 ，作用线过点O。同样，FB和 的合力 ，作用线也通过点O。由于FAD与FBC为一对平衡力，可去掉，而只剩下作用于平面II内C点的力FC和D点的力FD，这两个力形成一个新的力偶（FC，FD）。显然，它与原力偶（FA，FB）等效。 因此力偶矩矢为一自由矢量。,22,4.3.3 空间力偶系的合成与平衡,由于力偶矩矢是自由矢量，在对空间力偶系进行合成时，可将各力偶矩矢平行地搬移到任一点。类似于一般的矢量运算，力偶矩矢的合成也符
10、合平行四边形法则。因此，空间力偶系可以合成为一个合力偶，其合力偶矩矢等于力偶系中各力偶矩矢的矢量和，即,23,求合力偶矩矢通常采用解析法。将矢量方程向三个直角坐标轴投影，得：,因此，合力偶矩矢的大小和方向余弦分别为：,24,投影式为：,显然空间力偶系的平衡条件是：力偶系中各力偶矩矢的矢量和等于零。即,即力偶系中各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和都等于零。,例4-4 已知:圆盘O1和O2与水平轴AB固连，盘面O1垂直于z轴，O2垂直于x轴，盘面上分别作用有力偶(F1，F1)和(F2，F2)，如图4-12a所示。两盘半径均为200mm，F1 = 3kN，F2 = 5kN，AB = 800mm，不
11、计构件自重。 求：轴承A和B处的约束力。,25,26,(2) 受力分析 主动力有力偶(F1，F1) 和(F2，F2)；由于力偶只能由力偶平衡，故约束力FAx = FBx，FAz = FBz，如图所示，为一空间力偶系。 (3) 列平衡方程并求解 Mx= 0, 400F2 800FBz = 0 Mz= 0, 400F1 + 800FAx = 0 解得 FAx = FBx = 1.5kN, FAz = FBz = 2.5kN 负号说明图中所设方向与实际方向相反。,解：(1)研究对象 取整体为研究对象。,27,4-4 空间任意力系的简化,设图所示刚体上作用着一空间任意力系F1，F2, Fn 。为了对这
12、个力系进行简化，在刚体内任选一点O作为简化中心。应用力的平移定理，将各力平移至O点，并各附加一个力偶。这样，原力系变换为作用于点O的空间汇交力系 和空间附加力偶系M1，M2，, Mn。,28,空间汇交力系 可以合成为作用于点O的一个力 ，即 上式又可写为 即 等于原力系中各力的矢量和，称为原力系的主矢。,主矢 的大小和方向余弦为：,29,空间附加力偶系M1，M2，, Mn可合成为一个力偶，其力偶矩矢为 上式又可写为 即矢量MO等于原力系中各力对于简化中心之矩的矢量和，称为原力系对于O点的主矩。主矩一般与简化中心的位置有关。,主矩MO的大小和方向余弦为：,30,空间一般力系向一点简化得一主矢和主
13、矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。,4-5 空间任意力系简化结果的分析,1、若 ,则力系合成为一个通过简化中心O 的合力，其合力等于力系的主矢 。,2、若 则力系合成为一个力偶，其力偶矩等于力系对于简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。,3、若 ,则力系平衡，这种情况将在下一节详细讨论。,31,4、若 时，又可分为以下三种情况：,32,（c）当 与MO不平行也不垂直，成任意角度q 时,将力偶矩矢MO沿着与力 平行和垂直的两个方向分解为M1和M2。再将力 和矩为M2的力偶合成为作用线过 点的一个力 ，其力矢等于力系的主矢 ，其作用线到简化中心O的距离 。然后再将力偶矩矢M1平
14、移到 点，从而最后合成为一个力螺旋，如图所示。,33,空间力系的合力矩定理：,由于合力FR对于简化中心O之矩等于力系对于点O的主矩，即 。而主矩又等于原力系中各力对简化中心O之矩的矢量和，即 ，因此有：,即空间任意力系的合力对于任一轴之矩等于力系中各力对于同一轴之矩的代数和。,即当空间任意力系可以合成为一个合力时，其合力对于任一点的矩等于力系中各力对于同一点之矩的矢量和。此为空间任意力系的合力矩定理。,34,一、空间任意力系的平衡充要条件是：,所以空间任意力系的平衡方程为：, 4.6 空间任意力系的平衡,还有四矩式，五矩式和六矩式 同时各有相应的限制条件。,二、空间平行力系的平衡方程，设各力线
15、都 / z 轴。,第一、二和第六式 自动满足,例4-5 已知:已知起重机，AD=DB =1m，CD=1.5m，CM=1m。机身与平衡锤重G=100kN，其作用线在平面LMN内，到机身轴线MN的距离为0.5m，起重量G1=30kN 求：当平面LMN平行于AB时，地面对三个轮子的约束力。,35,36,(2) 受力分析 作用于起重机上的力有重力G、G1和地面对三个轮子的铅垂约束力FA、FB、FC，这些力构成空间平行力系。 (3)建立坐标系Mxyz如图，列平衡方程并求解 解得,解：(1)研究对象 取起重机整体为研究对象。,例4-6 已知:水平传动轴作匀速转动，皮带轮I、II的半径分别为r1=300mm，r2=150mm。皮带拉力都在垂直于y轴的平面内，且FT1和FT2沿水平方向，FT3和FT4与铅垂线的夹角 。已知FT1 = 2 FT2 = 2kN，FT3= 2FT4，a =0.5m 。 求：皮带的拉力FT3、FT4以及轴承A、B处的约
